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    人教B版高考数学一轮总复习第7章第5节空间向量及其运算学案

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    人教B版高考数学一轮总复习第7章第5节空间向量及其运算学案

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    这是一份人教B版高考数学一轮总复习第7章第5节空间向量及其运算学案,共12页。
    5节 空间向量及其运算一、教材概念·结论·性质重现1空间向量的有关概念(1)零向量:始点终点相同的向量,记作0.(2)单位向量:模等于1的向量.(3)相等向量:大小相等、方向相同的向量.(4)相反向量:方向相反、大小相等的向量称为相反向量.(5)平行向量:方向相同或者相反的两个非零向量互相平行(6)共面向量:一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移后,都能在同一平面内,则称这些向量共面.空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.2空间向量中的有关定理 语言描述共线向量定理如果a0ba,则存在唯一实数λ,使得bλa共面向量定理如果两个向量ab不共线,那么向量abc共面的充要条件是,存在唯一的实数对(xy),使cxayb空间向量基本定理如果空间中的三个向量abc不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(xyz),使得pxaybzc(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.3空间向量的数量积(1)两向量的夹角给定两个非零向量ab,任意在空间中选定一点O,作ab,则AOB叫做向量ab的夹角,记作〈ab〉.范围:0abπ.(2)两个非零向量ab的数量积:a·b|a||b|cosab(1)两向量的夹角概念中的两个注意点:两个向量有相同的起点;向量的方向.(2)向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·bb·a(bc)a·ba·c成立,(a·b)·c(b·c)不一定成立.4空间向量的坐标表示a(a1a2a3)b(b1b2b3) 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1a2b2a3b3共线aλb(b0λR)a1λb1a2λb2a3λb3垂直a·b0(a0b0)a1b1a2b2a3b30|a|夹角ab(a0b0)cosab〉=用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.5常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点PAB可通过证明下列结论成立来证明三点共线:λ(λR)对空间任一点Ot(tR)对空间任一点Oxy(xy1)(2)证明空间四点共面的方法对空间四点PMAB,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:xy对空间任一点Oxy()二、基本技能·思想·活动体验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)空间中任意两个非零向量ab共面.( )(2)在向量的数量积运算中,(a·b)·c(b·c)( × )(3)对于非零向量b,若a·bb·c,则ac.( × )(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( × )(5)a·b<0,则〈ab〉是钝角.( × )2.设u(2,2t)v(6,-4,4)分别是平面αβ的法向量.若αβ,则t(  )A3 B4  C5 D6C 解析:因为αβ,所以u·v=-2×62×(4)4t0,解得t5.3在平行六面体ABCDA1B1C1D1MA1C1B1D1的交点.若abAA1c则下列向量中与相等的向量是(  )A.-abc   B.abcC.-abc   D.abcA 解析()c(ba)=-abc.4.已知a(2,1,3)b(1,2,1).若a(aλb),则实数λ的值为(  )A.-2 B.-  C D2D 解析:由题意知a·(aλb)0,即a2λa·b0,所以147λ0,解得 λ2.5.下列说法:ABCD是空间任意四点,则有0|a||b||ab|ab共线的充要条件;ab共线,则ab所在直线平行;对空间任意一点O与不共线的三点ABC,若xyz(其中xyzR),则PABC四点共面.其中不正确的为________(填序号)②③④ 解析:中四点恰好围成一个封闭图形,正确;中当ab同向时,应有|a||b||ab|ab所在直线可能重合;中需满足xyz1,才有PABC四点共面.考点1 空间向量的线性运算——基础性1.在空间四边形OABC中,abc,点MOA上,且OM2MANBC的中点,则等于(  )A.abc B.abcC.abc   D.abcB 解析:()=-abc.2.在空间四边形ABCD中,(3,5,2)(7,-1,-4),点EF分别为线段BCAD的中点,则的坐标为(  )A(2,3,3) B(2,-3,-3)C(5,-2,1) D(5,2,-1)B 解析:因为点EF分别为线段BCAD的中点,设O为坐标原点,所以()()所以()()()[(3,-5,-2)(7,-1,-4)](4,-6,-6)(2,-3,-3)3.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OBACMN分别为OABC的中点,点G在线段MN上,且2.xyz,则xyz________. 解析:连接ON,设abc()bcaaabc.xyz所以xyz因此xyz.用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.考点2 共线向量定理、共面向量定理及其应用——综合性(1)已知a(2,-1,3)b(1,4,-2)c(7,5λ).若向量abc共面,则实数λ等于(  )A.   B.  C.   D.D 解析:因为向量abc共面,所以,由共面的向量基本定理,存在唯一实数xy,使得xaybc,所以解方程组得λ.(2)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的各个面都是平行四边形,EF分别在B1BD1D上,且BEBB1DFDD1.求证:AEC1F四点共面;已知xyz,求xyz的值.证明:()().有公共点A,所以AEC1F四点共面.解:因为()=-.所以x=-1y1z,所以xyz.证明点共线、点共面的方法(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明ABC三点共线,即证明共线,即证明λ(λ0)(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明PABC四点共面,只要能证明xy或对空间任一点O,有xyxyz(xyz1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.1.已知向量a(2m1,3m1)b(2m,-m),且ab,则实数m的值等于(  )A B.-2C0   D或-2B 解析:m0时,a(1,3,-1)b(2,0,0)ab不平行,所以m0.m0时,因为ab,所以,解得m=-2.2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,DBC边上的中点,求证:A1B平面AC1D.证明:acbac=-abbac所以2.因为A1B平面AC1D,所以A1B平面AC1D.考点3 空间向量的数量积及其应用——应用性考向1 空间向量数量积的运算(1)在空间四边形ABCD中,···(  )A.-1 B0C1 D.不确定B 解析:如图,令abc,则···(cb)(ac)(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.(2)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量(1,2,3)(2,1,2)(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当·取得最小值时,的坐标是________ 解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(λλ2λ)(1λ2λ32λ)(2λ1λ22λ)·(1λ)(2λ)(2λ)(1λ)(32λ)(22λ)6λ216λ1062.λ时,·取得最小值-.此时.空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.考向2 空间向量数量积的应用如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)AC1的长;(2)求证:AC1BD(3)BD1AC夹角的余弦值.解:abc|a||b||c|1ab〉=〈bc〉=〈ca〉=60°所以a·bb·cc·a.|1|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6所以|AC1|,即AC1的长为.(2)证明:因为1abcba所以1·(abc)·(ba)a·b|b|2b·c|a|2a·ba·cb·ca·c|b||c|cos 60°|a||c|cos 60°0.所以1,所以AC1BD.(3)解:因为1bcaab所以|1|||1·(bca)·(ab)b·ab2c·ac·ba2a·b1.所以cos1〉=.所以ACBD1夹角的余弦值为.空间向量数量积的应用求夹角设向量ab的夹角为θ,则cos θ,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用aba·b0(a0b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题如图,在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,EF分别是D1DBD的中点,G在棱CD上,且CGCDHC1G的中点.建立空间直角坐标系解决下列问题:(1)·(2)cosC1G〉;(3)FH的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系DxyzD为坐标原点,则有EFC(01,0)C1(0,1,1)B1(1,1,1)G.(1)(0,1,0)(1,1,1)(1,0,-1)所以·×(1)×0×(1)0.(2)因为(0,1,1)所以||.又因为·×0××(1)||所以cos〉=.(3)因为FH所以所以||FH的长为.  

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