湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考数学试卷（二）

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长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有--项是符合题目要求的.题号12345678答案DCDCBCBD二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案ABABDACAD三、填空题:本题共4小题, 每小题5分,共20分.13、 1614、 15、 16、 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)【解析】 (1) 当时,,当时, 由, 可得,两式相减可得,,即有,即为数列为第二项起为等比数列,则，即有(2) , 可得,则即有前项和为,,两式相减可得,,化简可得. 由于各项大于 0 , 可得由不等式的性质可得. 故.18. (12 分)【解析】(1) 设, 在中, 由余弦定理得: , 即而, 解得, 所以, 则的面积, 梯形中,与等高,且, 所以的面积, 则梯形的面积. (2) 在梯形中, 设, 而,则, 在中, 由正弦定理得:, 在中, 由正弦定理得: , 两式相除得: ,整理得,即,解得或,因为, 则, 即.19. (12 分)【解析】(1) 在三棱柱中, , 则由平面, 知平面, 故 , 从而,由四边形与四边形面积相等知，又，所以，所以，，因为，所以四边形为平行四边形，因为平面且平面，所以，故四边形是矩形；（2）取的中点G，连结，由（1）可知，，因为平面且平面，所以平面平面，因为平面平面，且平面，所以平面，取的中点H，以G为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，在中，因为且，所以为等边三角形，所以，则，，所以，，设平面的一个法向量为则有，即，令，则，所以，因为平面的一个法向量为所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故二面角的正弦值为.20. (12 分)【解析】(1) ,$012 .(2) (i) 设池塘乙中鱼数为, 则, 解得, 故池塘乙中的鱼数为 200 .(ii)设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”则,由最大似然估计法, 即求最大时的值, 其中,当时，当时，当时所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.（12分）【解析】（1）所以椭圆的方程为（2）①当斜率为 0 或不存在时, 对角线;(2) 当斜率存在且不为 0 时, 设, 则,设过且与椭圆相切的直线方程为,则是该方程的两个根点在定圆上, 即均在该圆上, 其对角线为直径, 即,综上, 矩形对角线的长度为定值.22. (12 分)【解析】(1), 则,显然不是的零点,令, 则,在单调递减, 在(0,1)单调递减, 在单调递增.时, 时,时,时,,时, 有 1 个极值点,时, 有 0 个极值点,时, 有 2 个极值点.(2) 由 (1) 知,, 且在(0,1)单调递减, 在 单调递增,先证: ,即证: ，即证: . 即证: .令,即证:,令则令, 则, 则在单调递减,, 即在单调递减,, 证毕. 再证:,, 且 .在单调递增, 在单调递减, 在单调递增,.即证: ,又,即证: .令,.令,,,令,,在单调递减, 在单调递增.,, 当时,单调递增; 当时,单调递减.,在单调递减, 在单调递增.,在单调递增, 在单调递减.,,,在单调递增,,所以原命题得证.