人教A版高考数学一轮总复习第2章第6节对数与对数函数课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第2章第6节对数与对数函数课时学案，共9页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①lga1＝0；②lgaa＝1；③aeq \s\up10(lgaN)＝N；
④lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
换底公式的三个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba).
(2)lgeq \s\d6(am)bn＝eq \f(n,m)lgab.
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
对数函数图象的特征
(1)由图可知，0(2)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、第四象限．
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN．(×)
(2)lgax·lgay＝lga(x＋y)．(×)
(3)函数y＝lg2x及y＝lgeq \s\d16(eq \f(1,3))3x都是对数函数．(×)
(4)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)
(5)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)
2．计算lg29×lg34＋2lg510＋lg50.25＝( )
A．0B．2
C．4D．6
D 解析：原式＝2lg23×(2lg32)＋lg5(102×0.25)＝4＋lg525＝4＋2＝6.
3．函数y＝lga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．
(2,2) 解析：当x＝2时，函数y＝lga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
4．函数y＝lg|x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B 解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
5．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x)＝( )
A．lg2x B．eq \f(1,2x) C．lg0.5x D．2x－2
A 解析：由题意知f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)．因为f (2)＝1，所以lga2＝1.所以a＝2.所以f (x)＝lg2x.
考点1 对数运算问题——基础性
1．填空：
(1)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lgeq \r(0.1)－lg29×lg32的值是________．
(2)已知2x＝12，lg2eq \f(1,3)＝y，则x＋y的值为________．
(3)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝________.
(1)－eq \f(1,2) (2)2 (3)eq \r(10) 解析：(1)原式＝lg 5＋lg 2＋eq \f(1,2)－2＝1＋eq \f(1,2)－2＝－eq \f(1,2).
(2)因为2x＝12，所以x＝lg212，
所以x＋y＝lg212＋lg2eq \f(1,3)＝lg24＝2.
(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝lg2m，b＝lg5m，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2.所以m2＝10.所以m＝eq \r(10).
2．(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,10)
C 解析：由题设有eq \f([H＋],[OH－])＝eq \f([H＋]2,10－14)＝1014[H＋]2.又10－7.45≤[H＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H＋]2≤－0.7.又lg eq \f(1,2)≈－0.3，lg eq \f(1,3)＝－0.48，lg eq \f(1,6)＝－0.78，lg eq \f(1,10)＝－1，只有lg eq \f(1,6)在范围之中．故选C．
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
考点2 对数函数的图象及应用——综合性
(1) 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)，则函数f (x)的大致图象为( )
C 解析：先作出当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f (x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．
(2)当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2))D．(eq \r(2)，2)
B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝lgax的大致图象如图．
由题意可知只需满足lgaeq \f(1,2)＞4eq \s\up8(eq \f(1,2))，解得a＞eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(\r(2),2)＜a＜1.故选B．
1．将本例(2)中“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则实数a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) 解析：若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x与函数y＝lgax的图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点．
由图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,lga\f(1,2)≤2，))解得0＜a≤eq \f(\r(2),2)，即a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
2．若本例(2)变为：已知不等式x2－lgax<0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))恒成立，则实数a的取值范围为________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1)) 解析：由x2－lgax<0得x21时，显然不成立；当0要使x2所以有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(2)≤lgaeq \f(1,2)，解得a≥eq \f(1,16)，
所以eq \f(1,16)≤a<1.
即实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1)).
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)
B 解析：易知y＝ln x与y＝ln(－x)的图象关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图象向右平移2个单位长度所得图象y＝ln[－(x－2)]＝ln(2－x)即与y＝ln x的图象关于直线x＝1对称．
2．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0.))关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞) 解析：问题等价于函数y＝f (x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1.
考点3 对数函数的性质及应用——应用性
考向1 比较函数值的大小
设a＝0.50.4，b＝lg0.40.3，c＝lg80.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC 解析：因为0lg0.40.4＝1，c＝lg80.4考向2 对数方程或不等式问题
(1)设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lgeq \s\d16(\f(1,2))－x，x<0.))若f (a)＞f (－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
C 解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,lg2a＞－lg2a))或
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－lg2－a＞lg2－a，))
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C．
(2)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为________．
x＝eq \r(5) 解析：原方程变形为lg2(x－1)＋lg2(x＋1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq \r(5).又x>1，所以x＝eq \r(5).
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考向3 对数函数性质的综合问题
若函数f (x)＝lg2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)
D 解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则eq \f(a,2)≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D．
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．cB 解析：因为a＝lg20.220＝1,02．已知不等式lgx(2x2＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) 解析：原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(03x>1))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,2x2＋1<3x<1))②.解不等式组①，得eq \f(1,3)3．若函数f (x)＝lga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
2 解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝eq \f(7,4). 当a>1时，y＝lgau是增函数，f (x)max＝lga4＝2，得a＝2；当00a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y<0；
当00
当x>1时，y>0；
当0减函数
增函数
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较