初中数学第25章 图形的相似综合与测试测试题

这是一份初中数学第25章 图形的相似综合与测试测试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二十五章达标测试卷
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1．下列长度的各组线段成比例的是(　　)
A．4cm，2cm，1cm，3cm B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm D．1cm，2cm，2cm，4cm
2．若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
3．如图，可以判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(　　)

A．∠A＝∠B′＝∠C′
B.＝且∠A＝∠C′
C.＝且∠A＝∠A′
D．以上条件都不对
4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为(　　)
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
5．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为(　　)
　
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩短后得到CD，则点C的坐标为(　　)

A．(2，1) B．(2，0)
C．(3，3) D．(3，1)
7．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长为(　　)
A. B.
C.或 D.或
8．如图，小东用长3.2 m的竹竿BE做测量工具测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿BE，使竹竿BE、旗杆CD顶端的影子恰好落在地面的同一点A处．此时，竹竿BE与点A相距8 m，与旗杆CD相距22 m，则旗杆CD的高度为(　　)

A．12 m B．10 m
C．8 m D．7 m
9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是(　　)


10．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的(　　)
A. B. C. D.

11．如图，在△ABC中，点D, E分别是边AC, AB的中点，BD与CE相交于点O, 连接DE.下列结论：① ＝；② ＝； ③ ＝；④ ＝，其中正确的有(　　)
A．1个 B．2 个
C．3 个 D．4个

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)

A．2 B．2.4
C．2.5 D．2.25
13．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(　　)
A．6米 B．8米
C．18米 D．24米

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于(　　)
A．9∶4 B．9∶2
C．3∶4 D．3∶2

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(　　)
A．1 B．2
C．12 －6 D．6 －6


16．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分 ∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(每题3分，共9分)
17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________.

18．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC＝________．　

19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．


三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)
20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．






21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，并求出△A2B2C2的面积．




22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.
(1)求证：△ABC～△ACD；
(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．









23．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．



24．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？











25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．
请解答下列问题：
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？









26．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.
(1)求证：△ADE≌△DCF；
(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点；
(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．





答案
一、1.D　2.D　3.C　4.B　5.C　6.A
7．C　
8．A　点拨：∵BE∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得CD＝12 m．故旗杆CD的高度为12 m．故选A.
9．D　10.C
11．B　点拨：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且＝，②正确；
∴∠ODE＝∠OBC，∠OED＝∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴＝＝＝，①错误；
＝＝，③错误；
∵＝＝＝，
∴＝，④正确．故选B.
12．B
13．B　点拨：由题意知，∠APB＝∠CPD.
又∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝.
∵AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，
∴CD＝＝＝8(米)．故选B.
14．D　点拨：方法1：∵∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，
又∠A是公共角，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD.
∴＝，
∴AC2＝AD·AB.
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°，
又∠B是公共角，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴＝，
∴BC2＝BD·AB.
∴＝＝＝.
∴AC∶BC＝3∶2.
方法2：易证△ACD∽△CBD，
∴＝.
又∵CD⊥AB，
∴＝＝＝， ∴＝.
15．D　点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.
∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD：AB＝AG:AC.　
又∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG＝∠B.
∴DG∥BC.
∴AN⊥DG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG.
∴FH⊥BC.
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.
∴AM＝＝12 .
∵＝，即＝，
∴AN＝6 .
∴MN＝AM－AN＝6 .
∴FH＝MN－GF＝6 －6.故选D.

16．D　点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴EM是AB边上的中线．
∴EM＝AB.
∵点D，点N分别是BC，AC的中点，
∴DN是△ABC的中位线．
∴DN＝AB，DN∥AB.
∴EM＝DN.①正确；
由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.
∴＝＝.
∴S△CND＝S四边形ABDN.②正确；
如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，

∴DM＝AC，DM∥AC，
∴四边形AMDN是平行四边形．
∴∠AMD＝∠AND.
易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，
∴∠EMD＝∠DNF.
∵FN是AC边上的中线，
∴FN＝AC.
∴DM＝FN.
又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.
∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确；
∵∠MDN＋∠AMD＝180°，
∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°，
∴DE⊥DF.④正确．故选D.
二、17.2　18.1∶3　19.
三、20.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.
21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．
(2)如图，△A2B2C2就是所要画的三角形．
分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F.
∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1，
∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)．
∴S△A2B2C2＝×(2＋8)×10－×2×6－×4×8＝28.

22．(1)证明：∵∠ABC＝∠ACD，
∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD.
(2)解：由(1)知△ABC∽△ACD，
∴＝.
∵AD＝2，AB＝5，∴＝，
∴AC＝(负值舍去)．
23．解：由题意可得DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因为AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m，
所以＝.
所以DB＝24 m.
答：这条河的宽度为24 m.
24．解：如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N.

∵∠BAC＝90°，∴∠BNA＝∠BAC，BC＝＝20(cm)．
又∵∠B＝∠B，
∴△ABN∽△CBA，∴＝，
∴AN＝＝(cm)．
∵四边形EFHD是矩形，
∴HF∥ED，
∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C，
∴△AHF∽△ABC，∴＝.
设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF＝2x，∴＝，解得x＝，
∴2x＝.故所截矩形的长为cm，宽为cm.
25．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.
因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF.
所以12－2t＝4t，解得t＝2.
所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．
(2)根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝3，
即当t＝3时，△EFC∽△ACD；
②若△FEC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝1.2，
即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
26．(1)证明：由AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF.　
(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°.
所以∠QEC＋∠AED＝90°.
又因为∠AED＋∠EAD＝90°，
所以∠QEC＝∠EAD.
因为∠C＝∠ADE＝90°，
所以△ECQ∽△ADE.
所以＝.
因为E是CD的中点，CD＝AD，
所以EC＝DE＝AD.
所以＝.
因为DE＝CF，所以＝＝，
即Q是CF的中点．
(3)解：S1＋S2＝S3成立．
理由：因为△ECQ∽△ADE，
所以＝.所以＝.
因为∠C＝∠AEQ＝90°，
所以△ECQ∽△AEQ.
所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.
所以＝，＝.
所以＋＝＋＝.在Rt△AEQ中，
由勾股定理得EQ2＋AE2＝AQ2，
所以＋＝1，即S1＋S2＝S3.