广西壮族自治区北海市海城区北海一中2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份广西壮族自治区北海市海城区北海一中2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题.等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广西北海一中九年级（上）第一次月考数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．
2．（3分）6的算术平方根是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
3．（3分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
4．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（　　）

A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a3﹣2a2＝1
6．（3分）用科学记数法表示数0.000000087（　　）
A．0.87×107 B．8.7×108 C．﹣8.7×108 D．8.7×10﹣8
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＝0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
8．（3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900
C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900
9．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
10．（3分）如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
11．（3分）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝（　　）cm．

A．5 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）.
13．（3分）分解因式：a3b﹣a2＝　 　．
14．（3分）若4a2b2n+1与2amb3是同类项，则mn＝　 　．
15．（3分）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝　 　．

16．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　 　．
17．（3分）如图，在四边形ABCD中，，CD＝2，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，则AD的长为 　 　．

18．（3分）如图点P、Q、R在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S2、S3，若OE＝DE＝CD，S1+S3＝28，则S2的值为 　 　．

三.解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，且x为满足﹣2＜x＜2的整数．
21．（8分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于点C的中心对称图形△A'B'C；
（3）求出△ABC的面积．

22．（8分）已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

23．（8分）西安高新一中初中校区九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为　 　，图2中m的值为　 　；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
24．（10分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18，BC＝30，AB＝DC＝12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝3时，求△APQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点t的值；若不存在，说明理由．

26．（10分）如图，一次函数y＝αx+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（z）求△DOC的面积；
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．


2021-2022学年广西北海一中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．
【分析】根据绝对值的代数意义即可求解．
【解答】解：﹣2021的绝对值是2021，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值等于它的相反数，这是解题的关键．
2．（3分）6的算术平方根是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：6的算术平方根是，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
3．（3分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
【分析】根据反比例函数y＝中xy＝3对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵3×1＝3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（﹣3）×1＝﹣3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵3×＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵×3＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy的特点是解答此题的关键．
4．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（　　）

A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了复杂作图，平行线的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a3﹣2a2＝1
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、3a3与﹣2a2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）用科学记数法表示数0.000000087（　　）
A．0.87×107 B．8.7×108 C．﹣8.7×108 D．8.7×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000087用科学记数法表示为8.7×10﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＝0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
【分析】要使一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，只需Δ＜0．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＝4+4m＜0，
即m＜﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，对于任意一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
8．（3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900
C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900
【分析】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积＝长×宽列出方程即可．
【解答】解：设绿地的宽为x，则长为10+x；
根据长方形的面积公式可得：x（x+10）＝900．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积＝长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．
9．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式，①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
m≤1，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组中的两个不等式的解集都是大于，不等式组的解集大于大的，不等式②的解集是不等式组的解集．
10．（3分）如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：∵函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），
∴当y1＞y2时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
11．（3分）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
∴2017÷4＝504…1，
∵（2+4+8+6）×504+2＝10082，
∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，
故选：B．
【点评】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求出相应的式子的末位数字．
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝（　　）cm．

A．5 B．6 C． D．
【分析】连结AC，MC，可得MN是△ACF的中位线，则MN＝AC，求出AC即可求解．
【解答】解：连结AC，MC，
由折叠可知，M是CF的中点，
∵N是AD的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN＝AC，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝10，
∴MN＝5，
故选：A．

【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形的折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）.
13．（3分）分解因式：a3b﹣a2＝　a2（ab﹣1）　．
【分析】直接提公因式a2即可．
【解答】解：原式＝a2（ab﹣1），
故答案为：a2（ab﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，掌握乘法分配律是正确解答的前提．
14．（3分）若4a2b2n+1与2amb3是同类项，则mn＝　2　．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：2n+1＝3，m＝2，
解得：n＝1，
则mn＝2×1＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了同类项的定义，能熟记同类项定义的内容是解此题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项．
15．（3分）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝　85°　．

【分析】先由AB∥CD证明∠B＝∠C，∠AEB＝∠DFC，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△DCF，则∠A＝∠D＝85°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A＝85°，
∴∠D＝85°，
故答案为：85°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
16．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　16　．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
17．（3分）如图，在四边形ABCD中，，CD＝2，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，则AD的长为 　2　．

【分析】延长AD、BC相交于点E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE、DE，利用勾股定理列式求出AE，然后根据AD＝AE﹣DE计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2AB＝4，DE＝2CD＝4，
由勾股定理得，AE＝＝6，
∴AD＝AE﹣DE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
18．（3分）如图点P、Q、R在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S2、S3，若OE＝DE＝CD，S1+S3＝28，则S2的值为 　　．

【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝28，
∴S3＝，S1＝，S2＝，
解法二：∵CD＝DE＝OE，
∴S1＝，S四边形OGQD＝k，
∴S2＝（k﹣×2）＝，
S3＝k﹣k﹣k＝k，
∴k+k＝28，
∴k＝，
∴S2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三.解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，再算乘，最后算减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．
【解答】解：
＝﹣1﹣××|1﹣9|
＝﹣1﹣××8
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
20．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，且x为满足﹣2＜x＜2的整数．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出整数x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵x为满足﹣2＜x＜2的整数，
∴x＝﹣1，0，1，
当x＝﹣1，1时，原式没有意义；
当x＝0时，原式＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于点C的中心对称图形△A'B'C；
（3）求出△ABC的面积．

【分析】（1）由图即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）由图可得，点A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（2）如图，△A'B'C即为所求．

（3）△ABC的面积为3×2﹣﹣﹣＝．
【点评】本题考查中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
22．（8分）已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

【分析】（1）由矩形的性质：OB＝OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
23．（8分）西安高新一中初中校区九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为　50　，图2中m的值为　28　；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人．
【解答】解：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50，
m%＝×100%＝28%，
故答案为：50，28；
（Ⅱ）平均数＝＝10.66（分），
众数是12分，中位数是（11+11）÷2＝11（分）；
（Ⅲ）2000×＝1200（人），
答：我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18，BC＝30，AB＝DC＝12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝3时，求△APQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，证明△ABE≌△DCF，从而求得EB＝CF＝6，进而求得AE和DF的长，进一步求得结果；
（2）由AP＝BQ列出方程求得结果；
（3）分为AQ＝PQ，AP＝PQ，AQ＝AP三种情形，当AQ＝PQ时，作QN⊥AP，根据AP＝2AN＝2MQ，从而求得结果，当AQ＝AP时，表示出AQ，进而得出方程，从而得出结果，当AP＝PQ时，同样的方程求解．
【解答】解：（1）如图1，

作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，四边形AEFD是平行四边形，
∴EF＝AD＝16，
∵AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF＝＝6，
∴AE＝＝＝6，
当t＝3时，PD＝3，
∴AP＝AD﹣PD＝18﹣3＝15，
∴S△APQ＝＝＝45；
（2）∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴18﹣t＝30﹣2t，
∴t＝12；
（3）如图2，

当AQ＝PQ时，作QN⊥AP于N，作AM⊥BQ于M，
∴AP＝2AN，
∴AP＝18﹣t，AN＝BM＝BC﹣CQ﹣BM＝30﹣2t﹣6＝24﹣2t，
∴18﹣t＝30﹣2t，
∴t＝12，
如图3，

当AQ＝AP时，
∵AE＝6，EQ＝24﹣2t，
∴AQ2＝AE2+EQ2＝（6）2+（24﹣2t）2，
∴（6）2+（24﹣2t）2＝（18﹣t）2，
化简得，
t2﹣20t+120＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×120＜0，
∴方程无解，
∴这种情况不存在，
如图4，

当PQ＝AP时，作PG⊥BC于G，
∵PG＝DF＝6，QG＝CQ﹣CF﹣GQ＝t﹣6，
∴PQ2＝PG2+QG2＝（6）2+（t﹣6）2，
∴（6）2+（t﹣6）2＝（18﹣t）2，
∴t＝，
综上所述：t＝12或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，列出方程求解．
26．（10分）如图，一次函数y＝αx+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（z）求△DOC的面积；
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）把C（1，4）代入求出k＝4，把（4，m）代入y＝求出m即可；
（2）利用待定系数法得出一次函数的解析式，进而求出A（5，0），得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，易证△POC≌△POD，则S△POC＝S△POD．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入，
得k＝4，
把（4，m）代入y＝，得m＝1；
∴反比例函数的解析式为y＝，m＝1；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得，
解得a＝﹣1，b＝5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5，
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC＝S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD＝OC＝，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，又OP＝OP，
∴△POC≌△POD，
∴S△POC＝S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB＝∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，
∴∠BOP＝∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy＝4，x2＝4，
∴x＝±2，
∵x＞0，
∴x＝2，y＝2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点C、D关于直线y＝x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求三角形的面积等知识点的应用，用了数形结合思想．