广西壮族自治区北海市海城区第二实验学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份广西壮族自治区北海市海城区第二实验学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西北海第二实验学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．若反比例函数（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定还经过点（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣2，﹣1） D．（，2）
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm
4．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　）

A． B． C． D．
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．把一元二次方程x2+2x﹣1＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+1）2＝0
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
8．关于x的方程mx2﹣4x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m≥﹣4且m≠0 D．m≤﹣4
9．如图，反比例函数与一次函数y2＝x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，则当x＜0时，关于x的不等式y1＜y2的解集为（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣1＜x＜0
C．﹣3＜x＜﹣1 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0
10．如图，平行四边形ABCD的CD边落在x轴上，A、B两点分别在函数与的图象上，S平行四边形ABCD＝5，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
11．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或﹣4
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．如果，那么＝　 　．
14．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
15．线段AB＝10cm，点C为线段AB的黄金分割点，则AC＝　 　．
16．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则DF＝10，则DE＝　 　．

17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　（用“＞”或“＜”连接）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是 　 　．

三、解答题（共7小题，满分66分）
19．（10分）解方程：
（1）（x+1）2﹣9＝0
（2）2x2﹣4x﹣1＝0
20．（8分）先化简再求值：÷（x+2），其中x满足x2﹣3x+2＝0．
21．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为0，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BC＝12，．求DE的长．

23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

24．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
25．（12分）如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
（3）经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．


参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．若反比例函数（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定还经过点（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣2，﹣1） D．（，2）
【分析】先求出k的值，再由反比例函数图象上点的坐标满足k＝xy即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝（﹣1）×2＝﹣2．
A、∵2×（﹣1）＝﹣2，∴此点在反比例函数图象上，故本选项正确；
B、∵1×（﹣）＝﹣≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上，故本选项错误；
C、∵（﹣2）×（﹣1）＝2≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上，故本选项错误；
D、∵2×＝1≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：
首先要看是否是整式方程；
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm
【分析】根据已知DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用，可求AD：AB＝1：3＝DE：BC，再求BC的长．
【解答】解：若DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
则AD：AB＝1：3＝DE：BC，
∵DE＝4cm，
∴BC＝12（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，本题的关键是理解已知条件的比不是相似比，由此从给出的已知条件中求出线段的长．
4．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　）

A． B． C． D．
【分析】可设I＝，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．
【解答】解：设I＝，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k＝3×2＝6，
∴I＝．
故选：C．
【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】对k进行分类讨论，结合选项进行排除即可．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C，D错误；
当k＜0时，﹣k＞0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
6．把一元二次方程x2+2x﹣1＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝﹣2 D．（x+1）2＝0
【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得x2+2x＝1，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．关于x的方程mx2﹣4x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m≥﹣4且m≠0 D．m≤﹣4
【分析】分两种情况考虑：当m＝0时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当m不为0时，方程为一元二次方程，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围，综上，得到满足题意m的范围．
【解答】解：当m＝0时，方程化为﹣4x﹣1＝0，解得：x＝﹣，符合题意；
当m≠0时，得到Δ＝16+4m≥0，解得：m≥﹣4，
综上，m的取值范围是m≥﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
9．如图，反比例函数与一次函数y2＝x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，则当x＜0时，关于x的不等式y1＜y2的解集为（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣1＜x＜0
C．﹣3＜x＜﹣1 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0
【分析】求关于x的不等式y1＜y2的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．
【解答】解：观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴关于x的不等式y1＜y2的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
10．如图，平行四边形ABCD的CD边落在x轴上，A、B两点分别在函数与的图象上，S平行四边形ABCD＝5，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】连接OA、OB，如图，根据平行四边形的性质得则AB∥x轴，S△AOB＝S▱ABCD＝，由于S△AOB＝S△OAE+S△OBE，则根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|+×|3|＝，然后解绝对值方程即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥x轴，S△AOB＝S▱ABCD＝，
而S△AOB＝S△OAE+S△OBE，
∴|k|+×|3|＝，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了平行四边形的性质．
11．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或﹣4
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据因式分解，可得方程的解．
【解答】解：设a2+b2＝x，原方程为
x2﹣x﹣12＝0．因式分解，得
（x﹣4）（x+3）＝0．
x﹣4＝0或x+3＝0，
解得x＝4，x＝﹣3（不符合题意，要舍去），
a2+b2＝x＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元是解题关键，注意不符合题意的要舍去．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．如果，那么＝　　．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
14．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　m＜　．
【分析】根据反比例函数图象所在象限可得2m﹣1＜0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2m﹣1＜0，
解得：m＜，
故答案为：m＜．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
15．线段AB＝10cm，点C为线段AB的黄金分割点，则AC＝　5（﹣1）cm或5（3﹣）cm　．
【分析】根据黄金分割的定义可知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，得出AC＝10×或AC＝10﹣（5﹣5），再进行整理即可．
【解答】解：∵C为线段AB＝10cm的黄金分割点，
∴AC＝10×＝5﹣5＝5（﹣1）（cm），
或AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5＝5（3﹣）（cm）．
故答案为：5（﹣1）cm或5（3﹣）cm．
【点评】此题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念是本题的关键，特别注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．
16．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则DF＝10，则DE＝　6　．

【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得：DE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y2＜y3＜y1或y1＞y3＞y2　（用“＞”或“＜”连接）．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣1＜0，∴点A（﹣1，y1）在第二象限，∴y1＞0，
∵2＞1＞0，∴B（1，y2），C（2，y3）两点在第四象限，∴y2＜0，y3＜0，
∵函数图象在第四象限内为增函数，2＞1，∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y2＜y3＜y1或y1＞y3＞y2．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是 　6　．

【分析】根据正方形的性质得到DE∥BC，由平行线的性质得到∠AED＝∠B，∠ADE＝∠EFB＝90°，推出△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质得到＝，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠EFB＝90°，
∴△ADE∽△BEF，
∴＝，
即＝，
∴DE•EF＝2×3＝6，
∴正方形CDEF的面积是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．（10分）解方程：
（1）（x+1）2﹣9＝0
（2）2x2﹣4x﹣1＝0
【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）（x+1）2﹣9＝0，
（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4；

（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元一次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．（8分）先化简再求值：÷（x+2），其中x满足x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程得出x的值，取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x＝1或x＝2，
又x﹣2≠0，即x≠2，
∴x＝1，
则原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．
21．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为0，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）代入x＝0求出m值即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣2）2+4＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m﹣2＝0，
解得：m＝2；
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4．
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝0求出m值；（2）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
22．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BC＝12，．求DE的长．

【分析】先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得DE的长．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
即＝，
解得DE＝4，
即DE的长是4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．
【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y＝上，
∴＝4，解得m＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
又∵点B也在反比例函数y＝上，
∴＝n，解得n＝2，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．
（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；
（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为（3，0），
S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（12分）如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．
（3）经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．

【分析】（1）点A和点C是函数与坐标轴的交点，分别让给x＝0，y＝0，求其对应的值即可；
（2）根据题意，分类讨论即可；
（3）当点P在OA上，当点P经过点O之后，分别计算即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
当y＝0时，x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴线段OA＝6，线段OC＝8；
（2）①当AC＝AB时，
此时x轴为线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC＝8，
∴点B的坐标为（0，﹣8）；
②当AC＝CB且点B在点C上方时，
由勾股定理可知，
AC＝＝10，
∴BC＝10，
∴点B的坐标为（0，16）；
③当BC＝AC且点B在点C下方时，
∴BC＝AC＝10，
∵OC＝8，
∴OB＝2
∴点B的坐标为（0，﹣2）；
综上，B点坐标为（0，﹣8）或（0，16）或（0，﹣2）；
（3）设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＜6时，
OP＝6﹣t，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（6﹣t）×2t＝8，
解得t＝2或4，
∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位，
当t＞6时，
OP＝t﹣6，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（t﹣6）×2t＝8，
解得t＝3+或3﹣（舍去），
∴当t为（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位．
综上，当t为2秒或4秒或（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位，
【点评】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键．