河南省郑州市中原区锦江中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2022-2023学年河南省郑州市中原区锦江中学九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）如果2是方程的一个根，那么的值是　　

A．4 B． C．2 D．

2．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　

A．对角线互相平分 B．对边平行且相等 

C．对角线相等 D．对角相等

3．（3分）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　）

A．20 B．15 C．10 D．5

4．（3分）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．

5．（3分）从，，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是　　

A． B． C． D．

6．（3分）若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，已知四边形是菱形，过顶点作，交对角线于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

8．（3分）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

9．（3分）如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为　　

A． B． C． D．1

10．（3分）如图，、、、分别是、、、的中点，且．下列结论：

①，②四边形是矩形，③平分，④，⑤四边形是菱形，

其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则　 　．

12．（3分）若、是方程的两个根，则的值为　 　．

13．（3分）同时掷两枚形状、大小、质地完全相同的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 　   　．

14．（3分）如图，正方形的边长为2，在的延长线上，四边形也为正方形，则的面积为　 　．

15．（3分）如图，矩形中，，，是的中点，直线平行于直线，且直线与直线之间的距离为2，点在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在直线上，则的长为　　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）用适当的方法解方程：

（1）；

（2）．

17．（9分）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．

求证：．

18．（9分）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加了4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．

19．（9分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是　 　；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

20．（9分）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，则的形状为　 　；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

21．（10分）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低元．

（1）填表：（不需化简）

（2）如果批发商希望通过销售这批恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

22．（10分）如图，矩形的对角线、相交于点，，．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接、，与相等吗？请说明理由．

23．（11分）在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．

（1）如图1，当是线段的中点时，求证：．

（2）如图2，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：　　．

（填“成立”或“不成立”

（3）如图3，当点是线段延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

2022-2023学年河南省郑州市中原区锦江中学九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）如果2是方程的一个根，那么的值是　　

A．4 B． C．2 D．

【分析】由2为方程的一个根，将代入方程得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．

【解答】解：是方程的一个根，

将代入方程得：，

解得：．

故选：．

2．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　

A．对角线互相平分 B．对边平行且相等 

C．对角线相等 D．对角相等

【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．

【解答】解：矩形和菱形是平行四边形，

、、是二者都具有的性质，

对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．

故选：．

3．（3分）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　）

A．20 B．15 C．10 D．5

【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．

【解答】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，

∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，

∴摸到白球的概率为1﹣0.26﹣0.44＝0.3，

∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50＝15．

故选：B．

4．（3分）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．

【分析】由关于的一元二次方程没有实数根可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：由已知得：

，

，即，

解得：．

故选：．

5．（3分）从，，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是　　

A． B． C． D．

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：列表如下：

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为，

故选：．

6．（3分）若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是　　

A． B． C． D．

【分析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．

【解答】解：，，

，，

以，为根的一元二次方程可为．

故选：．

7．（3分）如图，已知四边形是菱形，过顶点作，交对角线于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】利用菱形的对角线平分每组对角，进而得出的度数，进而得出的度数．

【解答】解：四边形是菱形，

，

，

，

，

，

．

故选：．

8．（3分）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【分析】先由根的判别式可得方程有两个实数根则△，根据根与系数的关系得出，，再由，，解出不等式组即可．

【解答】解：△，

，

，

，

且．

故选：．

9．（3分）如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于、两点．若，则线段的长为　　

A． B． C． D．1

【分析】作于，如图，根据正方形的性质得，则为等腰直角三角形，再求出，，，然后证明，．

【解答】解：作于，如图，

四边形为正方形，

，

为等腰直角三角形，

，

，

平分，，

，，

，

，

，

，

，

故选：．

10．（3分）如图，、、、分别是、、、的中点，且．下列结论：

①，②四边形是矩形，③平分，④，⑤四边形是菱形，

其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．

【解答】解：、、、分别是、、、的中点，

，，，，

，

，

四边形是菱形，

①，正确；

②四边形是矩形，错误；

③平分，正确；

④当，如图所示：，分别为，中点，

连接，延长到上一点，

，，

，只有时才可以成立，而本题与很显然不平行，故本小题错误；

⑤四边形是菱形，正确．

综上所述，①③⑤共3个正确．

故选：．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则　2　．

【分析】把代入已知方程列出关于的一元一次方程，通过解方程求得的值．

【解答】解：依题意，得

，即，

解得，．

故答案是：2．

12．（3分）若、是方程的两个根，则的值为　　．

【分析】根据根与系数的关系得到，，然后代入所求的代数式中计算即可．

【解答】解：根据题意得，，

所以．

故答案为．

13．（3分）同时掷两枚形状、大小、质地完全相同的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 　　．

【分析】列表得出所有等可能的结果数和至少有一枚骰子的点数是3的结果数，再利用概率公式可得出答案．

【解答】解：列表如下：

共有36种等可能的结果，其中至少有一枚骰子的点数是3的结果有11种，

∴至少有一枚骰子的点数是3的概率为．

故答案为：．

14．（3分）如图，正方形的边长为2，在的延长线上，四边形也为正方形，则的面积为　2　．

【分析】设正方形边长为，根据求解即可．

【解答】解：设正方形的边长为，根据题意得：

．

故答案为：2．

方法二：连接．易证，

．

15．（3分）如图，矩形中，，，是的中点，直线平行于直线，且直线与直线之间的距离为2，点在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在直线上，则的长为　或　．

【分析】当直线在直线上方时，连接交直线于，只要证明是等腰直角三角形即可利用解决问题，当直线在直线下方时，由，得到，由此即可解决问题．

【解答】解：如图，当直线在直线上方时，连接交直线于，

四边形是矩形，

，，

，，

，

、是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

点、点关于直线对称，

，

，

．

当直线在直线下方时，

，

，

综上所述的长为或．

故答案为或．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）用适当的方法解方程：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用因式分解法求解节课；

（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．

【解答】解：（1），

，

，

则，

或，

解得，；

（2）整理成一般式，得：，

，，，

△，

则，

即，．

17．（9分）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．

求证：．

【分析】先证明四边形是矩形，再根据平行四边形的对边相等即可证得．

【解答】证明：，，

四边形是平行四边形，

又菱形中，，即，

四边形是矩形；

，

又菱形中，，

．

18．（9分）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加了4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．

【分析】观察题目，设每月获得的利润的增长率是，然后用分别表示出2月份和3月份获得的利润；根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程，解此方程，并进行检验即可得到答案．

【解答】解：设这个增长率为．

依题意得：，

解得，（不合题意，舍去）．

答：这个增长率是．

19．（9分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是　　；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，

他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；

故答案为：；

（2）画树状图得：

共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，

他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：．

20．（9分）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，则的形状为　等腰三角形　；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【分析】（1）直接将代入得出关于，的等式，进而得出，即可判断的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于，，的等式，进而判断的形状；

（3）利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可．

【解答】解：（1）是方程的根，

，

，

，

，

是等腰三角形．

故答案为等腰三角形；

（2）是直角三角形，理由如下：

方程有两个相等的实数根，

，

，

，

是直角三角形；

（3）是等边三角形，

可整理为：，

，

解得：，．

21．（10分）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低元．

（1）填表：（不需化简）

（2）如果批发商希望通过销售这批恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

【分析】（1）根据题意直接用含的代数式表示即可；

（2）利用“获利9000元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．

【解答】解：（1）

（2）根据题意，得

整理得，

即，

解得

当时，

答：第二个月的单价应是70元．

22．（10分）如图，矩形的对角线、相交于点，，．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接、，与相等吗？请说明理由．

【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用矩形的性质得出，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定得出．

【解答】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，

矩形的对角线、相交于点，

，

四边形为菱形；

（2）．

理由：四边形为菱形，

，，

，

在和中，

，

，

23．（11分）在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．

（1）如图1，当是线段的中点时，求证：．

（2）如图2，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：　成立　．

（填“成立”或“不成立”

（3）如图3，当点是线段延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论；

（2）过点作交延长线于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后证明

，即可得出结论；

（3）过点作交延长线于点，证明同（2）．

【解答】（1）证明：四边形是菱形，

，

，

是等边三角形，

，

是线段的中点，

，，

，

，

，

，

；

（2）解：结论成立；理由如下：

过点作交于点，如图2所示：

四边形为菱形，

，，，

，，

，

又，

是等边三角形，

，，

又，

，

又，

是等边三角形，

，，

，，

又，

，

在和中，，

，

．

（3）解：结论成立．证明如下：

过点作交延长线于点，如图3所示：

四边形为菱形，

，

又，

是等边三角形，

，，

，

又，

，

又，

是等边三角形，

，，

，，

又，

，

在和中，，

，

．