河北省邢台市六校联考2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022-2023学年第一学期第一次月考

高一数学试题

考试范围：必修一§1—§2.2

说明：

1．本试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分．

2．请将所有答案都涂写在答题卡上，答在试卷上无效．

一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分）

1．已知全集，集合，则（    ）

A．      B．      C．       D．

2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ）

A．      B．     C．     D．

3．“”是“”的（    ）

A．充分必要条件   B．必要不充分条件   C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件

4．若命题，则：（    ）

A．      B．

C．       D．

5．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）

A．28           B．23           C．18            D．16

6．若，则一定有（    ）

A．        B．      C．        D．

7．已知a，b为正实数且，则的最小值为（    ）

A．        B．       C．       D．3

8．已知，则“成立”是“成立”的（    ）条件．

A．充分不必要      B．必要不充分      C．充分必要       D．既不充分也不必要

9．若正数a，b，c满足，则a，b，c中最大的数的最小值为（    ）

A．4           B．5          C．6        D．7

二、多选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

10．下列说法中，正确的是（    ）

A．的近似值的全体构成一个集合      B．自然数集中最小的元素是0

C．在整数集中，若，则   D．一个集合中不可以有两个相同的元素

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，则     B．若，则

C．若，则     D．函数的最小值是2

12．在整数集中，被6除所得余数为k的所有整整数组成一个“类”，记为（k），即，则下列结论中正确的有（    ）

A．存在一个整数，使得

B．，都能使成立

C．“整数a，b满足”是“整数a，b属于同一“类”的充要条件

D．“整数a，b满足”的必要条件是“整数a，b满足”

13．已知，且，则（    ）

A．      B．      C．      D．

14．已知非零实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．       B．     C．       D．

15．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（    ）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素

B．满足戴德金分割

C．M没有最大元素，N也没有最小元素

D．M有一个最大元素，N有一个最小元素

三、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）

16．已知集合，集合，若，则实数_____________．

17．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，，B的体积相等，，B在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，p是q的_____________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

18．已知集合，若，则m的取值范围为_____________．

19．“”是假命题，则实数a的取值范围为_____________．

20．已知正数a，b满足，则的最小值为_____________．

四、解答题（其中21、22题，每题12分；23、24题，每题13分，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．已知集合

（1）若是的充分条件，求实数a的取值范围；

（2）若命题“”为真命题，求实数a的取值范围．

22．已知集合．请从①，②，③这三个条件中选一个填人（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（1）当时，求；

（2）若_____________，求实数a的取值范围．

23．2022年初，新冠肺炎疫情袭击某地区，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，某地区控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟2022年在该地区举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投人多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

24．设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，规定：．

（1）计算：；

（2），是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由．

（3）若“A中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素I．

2022-2023学年高一第一次月考

数学参考答案

一、单选题

1．D  解：，，，

故．

2．B  解：由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，

人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．

3．C  解：因为，所以，所以，即，

所以，所以，即，

若，则满足，而此时，

所以“”是“”的充分不必要条件．

4．A  解：因为，所以．

5．B  解：设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，，

所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23．

6．A  解：对于A、B，，

，即，故A正确，B错误；

对于C、D，令，满足，

但，故C、D错误．

7．D  解：因为a，b为正实数且，

所以，所以

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

8．C  解：充分性：若，则，

必要性：，又，

由绝对值的性质：若，则，

，所以“成立”是“成立”的充要条件．

9．B  解：不妨设，则，即，因为，所以，所以，所以，

又①，得，又，所以，当时，当且仅当或时，①中的等号成立，所以a，b，c中最大的数的最小值为5．

二、多选题

10．BCD

解：因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故A错误：

因为自然数集中最小的元素是0，所以B正确；

若，则也是整数，即，故C正确；

同一集合中的元素是互不相同的，故D正确．

11．BC

解：由时，得，选项A错误；

由，得，又，所以，选项B正确；

若，则，选项C正确；

，令，则，

因为在上单调递增，则，即，选项D错误．

12．CD

解：对于A，假设存在一个数，使得，则，显然不成立，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，故“整数a，b属于同一‘类”的充要条件是“”，故C正确；

对于D，若整数a，b满足，则，所以，，所以，故D正确．

13．ACD

解：对于A，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确．

对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误．

对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确．

对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．

14．AD

解：A选项，由于，故，所以，正确；

B选项，取知不成立，错误；

C选项，取知不成立，错误；

D选项，由于得，而，故，正确．

15．AC

解：对于选项A，设，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故A正确；

对于选项B，因为，故B错误；

对于选项C，设，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故C正确．

对于选项D，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若，一定存在使不成立；若，则不成立，故D错误；

三、填空题

16．0

解：由题意知，又集合，因此，即．故．

17．必要不充分

由祖暅原理可知，由A，B在同一高处的截面积总相等，可得A，B的体积相等，

即，所以必要性成立；

反之：若两几何体A，B的体积相等，但两几何体A，B的体积不一定相等，所以充分性不成立，所以p是q的必要不充分条件.

18．或

解：由于，所以，当时，，解得；

当时，，解得，综上，m的取值范围是．

19．或

解：由题意可知，“”的否定是真命题，

即“”是真命题，当时，，不等式显然成立，

当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，

综上，实数a的取值范围为．

20．

解：由，得，

则

，当且仅当时取“=”，

所以当时，的最小值为．

四、解答题

21．解：（1）因为是的充分条件，故，             3分

故，故                                      6分

（2）因为，故或，                          9分

故或                                  12分

22．解：（1）由题意得，           2分

当时，                                   4分

；                                     6分

（2）选择①，，当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；                        9分

当时，，此时，不满足，舍去                       11分

综上，实数a的取值范围为．                           12分

②③对应①相应给分．

选择②．当时，，满足；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时．

综上，实数a的取值范围为．

选择③．当时，，满足题意；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，满足题意．

综上，实数a的取值范围为

23．解：（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，            2分

．

所以每件产品的销售价格为（元）                       3分

                  5分

∴2022年的利润                  7分

（2）当时，，，当且仅当即时等号成立．                                       10分

，即万元时，（万元）．

故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．           13分

24．解：（1）         3分

（2），都有成立，证明如下：

依题意，设，则，                     4分

，           6分

所以                               7分

（3）若A中的元素，都有成立，则由（2）知只需成立，设，即，则，

当时，显然有成立，即元素I为A中任意元素，             8分

当时，则，解得，                11分

因此当，都有成立时，得，

反之，当时，，

设，         12分

所以“A中的元素”是“，都有成立的充要条件，元素  13分