江苏省淮安市钦工中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

钦工中学2022-2023学年度第一学期高二第一次月考

数学试卷

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．若方程表示平行于轴的直线，则的值是（    ）

A． B． C．， D．1

3．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

4．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

6．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

7．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

二、多选题

9．（多选）下列叙述正确的是（    ）

A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率

B．直线倾斜角的取值范围是

C．若一条直线的倾斜角为（），则此直线的斜率为

D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或

10．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（    ）

A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]

C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为

11．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

12．已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（    ）

A．圆与圆有两条公切线

B．圆与圆关于直线对称

C．线段的长为

D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为

三、填空题

13．过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.

14．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.

15．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.

16．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.

四、解答题

17．已知直线；.

（1）若，求的值；

（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．

18．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

19．已知抛物线的准线与轴的交点为.

（1）求的方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.

20．设直线l的方程为（a∈R）.

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若l不经过第三象限，求a的取值范围.

21．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

22．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2），是三个军事基地，为一个军事要塞.已知km，到的距离分别为km，km.

（1）求两个军事基地的长；

（2）若要塞正北方向距离要塞20km处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半径为(为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以km/h的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.

参考答案：

1．D

【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.

【详解】

由题设可得，

因为直线与线段相交，则或，

故选：D.

2．B

【分析】根据直线与x轴平行，由直线方程各项系数的特征，即可求的值.

【详解】直线与轴平行

∴，解得：

故选：B．

3．D

【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.

【详解】因为双曲线的离心率是，

所以，解得（舍去）.

故选：D.

4．A

【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.

【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，

故C到的距离为，

故所求弦长为.

故选：A.

5．A

【分析】设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.

【详解】由题意知，

在中，，可设，则，

由勾股定理可得，

又由得，所以，.

故选：A.

6．C

【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.

【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.

又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.

故选：C.

7．D

【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.

【详解】如下图所示，设，则，，所以，，

所以，，

由椭圆定义可得，，，

所以，，

所以，为等腰直角三角形，可得，，

所以，该椭圆的离心率为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8．B

【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.

【详解】由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

9．BCD

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的定义以及倾斜角的取值范围，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】对于A，平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为时，斜率不存在，故A错误；

对于B，由于直线倾斜角的取值范围是，故B正确；

对于C，若一条直线的倾斜角为（），则此直线的斜率为，故C正确；

对于D，与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故D正确.

故选：BCD．

10．AD

【解析】根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积.

【详解】设椭圆的左焦点为，则

∴为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

∴的范围是，

∴的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，，

又∵，∴，

∴不是直角三角形，C不正确；

将与椭圆方程联立，解得，，

∴，D正确．

故选：AD

11．CD

【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆公切线条数可知两圆相交，根据相交时圆心距和两圆半径之间关系构造不等式求得的取值范围，进而得到结果.

【详解】圆方程可化为：，则圆心，半径；

由圆方程知：圆心，半径；

圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，

又两圆圆心距，，即，解得：或，

可知CD中的的取值满足题意.

故选：CD.

【点睛】结论点睛：两圆之间圆心距为，半径分别为，则两圆位置关系与关系如下：

（1）内含：；（2）内切：；（3）相交：；

（4）外切：；（5）外离：.

12．ABD

【解析】写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B，利用圆的弦的性质可判断C，根据圆上两点最大距离判断D.

【详解】圆：的圆心为，半径，

圆：，即，其圆心为，半径,

所以,两圆相交，

对于A，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，A正确；

对于B，两圆方程相减得，即直线AB的方程为 ，因为圆心与圆心关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以B正确；

对于C，由B的结论可知，，故C错误；

对于D，，分别是圆和圆上的点，则的最大值为，故D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用.

13．

【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.

【详解】圆和圆

的圆心分别为：和，

垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，

所以直线方程为，

整理可得：.

故答案为：.

14．

【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，

所以双曲线的标准方程为.

故答案为：

15．或1##1或

【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值

【详解】设，则有

整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆

点到直线的距离

直线交于，两点，则

则的面积

解之得或

故答案为：或1

16．

【解析】圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．

【详解】由题意圆与圆关于原点对称，设，则

即．

设方程为，则三个圆心到该直线的距离分别为：

，，，

则，

即有，解得，

则，即.

故答案为: .

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．

17．（1）；（2）或.

【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；

（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值

【详解】解：（1）设直线的斜率分别为，则．

若，则，，

（2）若，则，

∴可以化简为，

又直线与直线的距离，

或，

综上：.

18．（1），（2）.

【分析】（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；

（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.

【详解】（1）由题意可得，解得：

故椭圆C的标准方程为.

（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为

联立，整理得

,

则，故,

因为的面积为,所以，

设，则整理得，解得或（舍去），即.

故直线的方程为，即.

19．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据抛物线的准线求参数p，即可写出抛物线方程；

（2）设直线为，、，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，由，，代入目标式化简，即可证结论.

【详解】（1）由题意，可得，即，

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，，，

联立抛物线有，消去x得，则，

∴，，又，.

∴.

∴为定值.

20．(1)0或3

(2)

【分析】（1）通过讨论是否为0，求出a的值即可；

（2）根据一次函数的性质判断a的范围即可.

（1）

当直线l过原点时，该直线l在x轴和y轴上的截距为零，

∴a＝3，方程即为4x+y＝0；

若a≠3，则，即a+1＝1，

∴a＝0，方程即为，

∴a的值为0或3.

（2）

若l不经过第三象限，

直线l的方程化为，

则，解得，

∴a的取值范围是.

21．（1）；（2），.

【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；

（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.

【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，

则直线的方程为，

联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，

解得，，

，即，，

即，即，

，解得，因此，椭圆的离心率为；

（2）[方法一]：椭圆的第二定义

由椭圆的第二定义知，则有，

所以，即．

又由，得．

从而，解得．

所以．

故椭圆与抛物线的标准方程分别是．

[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式

以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．

故的标准方程为，的标准方程为．

[方法三]：参数方程

由（1）知，椭圆的方程为，

所以的参数方程为（为参数），

将它代入抛物线的方程并化简得，

解得或（舍去），

所以，即点M的坐标为．

又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．

故的标准方程为，的标准方程为．

[方法四]【最优解】：利用韦达定理

由（1）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，

解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得.

因此，曲线的标准方程为，

曲线的标准方程为.

【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.

方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.

方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.

方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.

22．（1）；（2）

【分析】（1）由点到直线的距离，结合直线的方程，即可求出的长；

（2）爆炸波不会波及卡车通行即对恒成立，代入进行分类讨论，即可得出结论．

【详解】解：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．

则由题设得：，直线的方程为，，

由，及 解得，．

直线的方程为，即，

由 得 即，

，

即基地的长为．

（2）设爆炸产生的爆炸波圆，

由题意可得，生成小时时，卡车在线段上的点处，则

，，．

爆炸波不会波及卡车的通行即对恒成立．

，即

当 时，上式恒成立，

当时即，，令，，当且仅当，即时等号成立，

所以，在时 恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行．

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．