四川省成都市第八中学校2022-2023学年高三上学期第一次摸底考试理科数学试题（含答案）

成都八中高2020级高三第一次摸底考试

理科数学总分: 150分

单选题（5分*12）

1. 设集合 ​, 则​（     ）

A.​ B.​ C.​ D.​

2. 设 ​, 则​（     ）

A.0 B.​ C.1 D.​

3. 在 ​中, 内角​的对边分别为​, 且​, 则​的形状是 (      )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

4. 已知实数 ​满足约束条件​, 则​的最大值为（      ).

A.3 B.0 C.​ D.​

5. 已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积等于（     ）

A.​ B.160    C.​ D.​

6. 函数 ​的图象可能是（      )

A. B.  C. D.

7. 我们把离心率为 ​的椭圆称为“最美椭圆”. 已知椭圆​为“最美椭圆”, 且以椭圆​上一点​和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 4 , 则椭圆​的方程为 (      ).

A.​ B.​  C.​ D.​

8. 已知函数 ​, 则​的大小关系是 (     )

A.​ B.​    C.​ D.​

9. 甲､乙､丙等七人相约于国庆节到电影院观看电影《长空之王》，恰好买到了七张连号的电影票， 若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（      ）

A.240 B.192 C.96 D.48

10. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差, 计算完毕才发现有个同学的分数还末录入, 只好 重算一次.已知原平均分和原方差分别为 ​, 新平均分和新方差分别为​, 若此同学的得 分恰好为​, 则 (       )

A.​ B.​ C.​ D.​

11. 设双曲线 ​的左、右焦点分别为​, 过​且斜率为​的直线与 双曲线​的右支交于点​. 若​, 则双曲线​的离心率为（      ）

A.​ B. 3 C.2 D.​

12. 已知 ​, 其中​为自然对数的底数, 则（     ）

A.​ B.​

C.​ D.​

填空题（20分）

13 ​的展开式中常数项是____________________ (用数字作答).

14 若向量 ​满足​, 则​__________________.

15 若函数 ​存在单调递增区间, 则​的取值范围是_________________.

16如图, 棱长为 1 的正方体 ​中,​为线段​上的动点(不含端点), 有下列结论:

①平面 ​平面​;

②多面体 ​的体积为定值;

③直线 ​与​所成的角可能为​;

④​能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是____________ (填上所有序号).

解答题

17. 12分）

设 ​是公比为正数的等比数列​.

(I) 求 ​的通项公式;

(II) 设 ​是首项为1, 公差为2的等差数列, 求数列 ​的前​项和​.

18（12分）

我省将在 2025 年全面实施新高考, 取消文理科, 实行“ ​”, 其中, “3”为全国统考科目语 文、数学、外语, 所有学生必考: “1”为首选科目, 考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目 中选择其中一科: “2”为再选科目, 考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科. 为 了解各年龄层对新高考的了解情况, 随机调查50人 (把年龄在 ​称为中青年, 年龄在​) 称为中老年，，并把调查结果制成下表:

(1)把年龄在 ​称为中青年, 年龄在​称为中老年, 请根据上表完成​列联表, 是否有​的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?

(2)若从年齡在 ​) 的被调查者中随机选取3人进行调查, 记选中的3人中了解新高考的人数为 ​, 求​的分布列以及​.

附: ​.

19（12分）

如图所示, 四棱锥 ​的底面​是平行四边形,​分别是棱​的中点.

(1)求证: ​平面​;

(2)若 ​, 求二面角​的正切值.

20（12分）

已知 ​为椭圆​的左、右焦点, 点​为其上一点, 且​.

(1) 求椭圆 ​的标准方程;

(2)过点 ​的直线​与椭圆​相交于​两点, 点​关于坐标原点​的对称点​, 试问​的面 积是否存在最大值? 若存在, 求出这个最大值; 若不存在, 请说明理由.

21（12分）

已知函数 ​.

(1)当 ​时, 求​的单调区间:

(2) 若 ​对任意​恒成立, 求实数​的取值范围.

22（10分）

在直角坐标系 ​中, 曲线​的参数方程为​, (​为参数). 以坐标原点为极点,​轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线​的极坐标方程为​.

(1) 求曲线 ​的普通方程与直线​的直角坐标方程;

(2) 若直线 ​过点​且与直线​平行, 直线​交曲线​于​两点, 求​的值.

23（10分）

已知 ​为正数, 且满足​. 证明:

(1) ​;

(2) ​.

参考答案

1.  A

根据题意，

​

​或​

​

则 ​。

故选: A。

2.  C

​​,

​. 故选 C.

3.  B

​,

​,

​,

​的形状是等腰三角形. 故选 A.

4.  B

5.  D

由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱 去掉一个三棱锥组成,

三棱柱的底面是一个直角边长凷 4 的直角三角形, 高为8, 即 ​,

​,

​该几何体的表面积为

​

故选: D

6.  D

首先套一个 ​, 得​, 排除​并且 2 的​的绝对值次方在​上单调递增,​在​到0的范围内单调递减，两个函数相乘单调递 减, 所以选D。

7.  D

8.  A

因为函数 ​,

所以 ​​

所以 ​为​上的减函数,

因为 ​,

所以 ​, 即​.

故选: A.

9.  B

丙在正中间 (4号位)，

甲乙两人只能坐 ​号位, 有4种情况，

考虑甲乙的顺序有 ​种情况，

剩下的4个位置其他四人全排列有 ​种情况， 故不同的坐法的种数为​.

故选: B.

10. C

设这个班有 ​个同学, 数据分别是​,​,

第 ​个同学没登录,

第一次计算时总分是 ​,

方差是

​

​

第二次计算时, ​,

方差

​

​

​

故 ​,

11. B

由题意可知 ​,

由双曲线的定义可得 ​, 设​, 则​,

进而有 ​,

由余弦定理可得, ​,

则有 ​,

化简得 ​即​,

因为 ​, 所以​, 所以​

12. C

令 ​, 则​,

当 ​时,​, 当​时,​, 所以当​时,​取得最小值,

即 ​, 所以​,

所以 ​;

因为 ​,

所以 ​, 令​, 则​,

当 ​时,​, 当​时,​,

所以当 ​时,​取得最小值, 所以​,

所以 ​, 所以​:

设 ​

设 ​在​上,​递减,

所以 ​所以​递增,

所以 ​, 即​所以​综上:​

填空题答案解析

(1)240 (2)​

 (3)​

 (4)①②④

(1) ​其二项式展开通项：​​​当​，解得​​的展开式中常数项是 :​. (2) 由题意, 可得​因为​, 所以​,所以​. 故答案为:​. (3)​存在单调递 增区间​在​上有解, 即​在​上有解,令​, 则​当​时,​单调递增,当​时,​单调递减,又​,​​,当​时,​,令​, 则​当​时,​, 函数单调递减; 当​时,​, 函数单调递 增,​, 即​恒成立, 此时不满足题意.​的取值范围是​.故答案为:​. (4) 对于①, 正方体​中,​,​,​平面​​平面​平面​平面​，故①正确;对于 ②,​到平面​的距离​，​三棱锥​​, 为定值, 故②正确;对于④，见上图，由题得​，设​，所以​所以​当​时，​，即​是钝角. 此时​是钝角三角 形.故④正确.故答案为:①②④

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(Ⅰ)​

(Ⅱ)​

 (I) ​设​是公比为正数的等比数列​设其公比为​​" 解得​或​的通项公式为​

(II) ​是首项为1, 公差为2的等差数列​

​数列​的前​项和​

18

(2)​.

（1）解：​列联表如图所示：

​,

所以有​的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；

(2) 解: 年龄在 ​的被调查者共 5 人, 其中了解新高考的有2人, 则抽取的3人中了解新高考的人数 ​可能取值为​.

则 ​.

所以X的分布列为：

​.

19

(2)​.

(1) 证明: 取 ​中点​, 因为​分别为​中点,​是平行四边形 所以​, 且​, 所以​是平行四边形, 所以​,

因为 ​平面​平面​, 所以​平面​.

(2) 因为 ​, 所以​,

因为 ​, 且​平面​平面​,

所以 ​平面​. 取​中点​, 因为​,

所以 ​, 因为​平面​平面​,

所以 ​, 而​ú​平面​, 进而​平面​平面​,

所以 ​, 所以​是二面角​的平面角. 设​,

因为 ​, 所以​, 所以​.

20

(1) 设椭圆的标准方程为 ​, 则​

解之得: ​

所以椭圆的标准方程为 ​.

(2) 如图所示,

设直线 ​,

则 ​消去​整理得​，

设 ​的面积为​,

​

则 ​,

令 ​, 则​,

又设 ​, 则​,

​在​上为增函数,​,

所以, 存在当 ​时, 即直线​的方程为​的面积有最大值, 其最大值为 3 .

21

（1）​的递增区间为​, 无递减区间;

（2）​.

(1) 解: 当 ​时,​,

求导 ​, 设​, 则​,

令 ​, 解得:​,

​在​单调递减, 在​单调递增, 则​,

​在​上恒成立,

​的递增区间为​, 无递减区间;

(2) 解: ​, 由（1）知:​,

又因为 ​在​单调递增, 则​,

①当 ​时,​在​单调递增,

​, 满足题意. (2)当​时, 设​, 则​,

当 ​时,​在​递增,​,

​, 使​在​单调递增,​当​时,​,

即 ​, 所以​在​上单调递减,

又 ​当​时,​, 不满足题意.

​的 取值范围为​, 综上可知: 实数​的取值范围​.

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（1） ​.

（2）2

(1) 因为曲线 ​的参数方程为​, (​为参数),

所以曲线 ​的普通方程为​. 由​,

得 ​, 即​,

因为 ​, 所以直线​的直角坐标方程为​.

(2) 因为直线 ​的斜率为​, 所以​的倾斜角为​,

所以过点 ​且与直线​平行的直线​的方程可设为​(​为参数).

设点 ​对应的参数分别为​, 将​代入​,

可得 ​,

整 理得 ​, 则​,

所以 ​.

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(1)因为 ​,​, 又​,

故有 ​​。

所以 ​。

(2)因为 ​为正数且​,

故有 ​

​

​

​​

所以

​