北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试优秀同步测试题

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二次函数单元测试卷（A卷）答案解析一．选择题（30分）1.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象不可能是　　A． B． C． D．【分析】根据、与0的大小关系以及与轴的交点情况即可作出判断．【解答】解：函数与的图象交于轴上同一点，，．二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，，，则，一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；．二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的左侧，，，则，一次函数的图象经过二、三、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；．二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，，，则，一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，一致，且交于轴上同一点，不合题意；．二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，，，则，一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，一致，不交于轴上同一点，符合题意；故选：．【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据、与0的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型．2.已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则的最大值与最小值的和为　　A．11 B．14 C．17 D．20【分析】根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，，可得出的最大值是15，最小值是2即可求解．【解答】解：当直线经过时，，解得；当直线与抛物线只有一个交点时，，即，，即或（舍去），的最大值是15，最小值是2，则的最大值与最小值的和为17，故选：． 3.抛物线上有两点，，，，若，则下列结论正确的是　　A． B． C．或 D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：抛物线上有两点，，，，且，，或或或，故选：．4.下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是　　A． B． C． D．【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．【解答】解：抛物线，该抛物线的对称轴是直线，、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；、的对称轴是直线，故该选项符合题意．故选：．5.下列对二次函数的图像描述不正确的是　　A．开口向下 B．顶点坐标为 C．与 轴相交于点 D．当时，函数值随的增大而减小【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：、，抛物线的开口向下，正确，不合题意；、抛物线的顶点坐标是，故本小题正确，不合题意；、令，则，所以抛物线与轴的交点坐标是，故不正确，符合题意；、抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，函数值随的增大而减小，故本小题正确，不合题意；故选：6.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　A． B． C． D．4【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，△，．故选：．7.已知二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点和，则下列关于、的大小关系判断正确的是　　A． B． C． D．【分析】先由点和求得二次函数的对称轴，然后根据两点代对称轴的结论即可判断、的大小．【解答】解：二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，对称轴为直线，抛物线经过点和，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，抛物线开口向上，，故选：．8.已知二次函数为非零常数，，图象与轴负半轴的交点在点的上方，有下列结论：①；②关于的方程有两个不相等的实数根；③．其中，正确结论的个数是　　A．3 B．2 C．1 D．0【分析】①由题意可知，，即，即可得出，故①正确；②由图象与直线的交点情况，即可判断②错误；③把代入得：，则．根据，可得，利用不等式的性质得出，故③正确．【解答】解：如图：①二次函数为非零常数，，图象与轴负半轴的交点在点的上方，图象开口向上，则，与轴的交点坐标为，，0 ，该抛物线的对称轴为，，即，，故①正确；②抛物线开口向上，图象与轴负半轴的交点在点的上方，抛物线与直线有一个交点或两个交点或无交点，关于的方程实数根的情况无法确定，故②错误；③把代入得：，．，，，，故③正确；故选：．9.已知的对称轴为直线，与轴的其中一个交点为，该函数在的取值范围，下列说法正确的是　　A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值3 C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4【分析】由抛物线对称轴为直线及抛物线经过可求出，的值，将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．【解答】解：图象的对称轴为直线，，抛物线经过，，将代入得，解答，，，抛物线顶点坐标为，时，函数最小值为．当时，为最大值，故选：．10.小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为　　A． B． C． D．【分析】根据出手点的坐标为求出函数关系式，再令可解得答案．【解答】解：把代入得：，，，令得，解得（舍去）或，实心球飞行的水平距离的长度为，故选：．二、填空题(每题4分，共24分)                                                                      11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有　   　．①abc＞0②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3③2a+b=0④当x＞0时，y随x的增大而减小答案 ②③．12．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　   　．答案 （1+，2）或（1﹣，2）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+3x与x轴正半轴交于点A，其顶点为P，将点P绕点O旋转180°后得到点C，连结PA、PC、AC，则△PAC的面积为　   　．、答案 17 14.二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　 　象限．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．15.若抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则a的值为　 　解：∵y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，∴b2﹣4ac＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝0，解得：a1＝3，a2＝﹣1，当a＝﹣1，则a+1＝0，故舍去．故答案为：3．16．如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，                 ．   【解析】由 解得 或   点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ．如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于 ，则此时 的周长最小．设直线 的函数表达式为 ，则 解得   直线 的函数表达式为 ．当 时，，  点 的坐标为 ．将 代入 中，得 ．  直线 与 轴的夹角是 ，  点 到直线 的距离是 ．  的面积 ． 三.解答题(共66分)                                                                         17.（6分） 已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．18.（8分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是﹣2． 19.（8分）在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式． 【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x． 20.（10分）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，确定，，，的符号；求证：；当取何值时，，当取何值时． 解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；根据图象可知，
当时，；当或时，． 21.（10分）抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点与点在（1）中的抛物线上，且．①求的值；②将抛物线在下方的部分沿翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是____________________．（1）；（2）①7；   ②或．解：（1）当 时， ，∴与y轴交于点C（0，-3），∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，∴B（3，0）或B（-3，0），∵点A在点B的左侧，m>0，∴抛物线经过点B（3，0），∴，解得：m=1，∴抛物线的解析式为 ；（2）①∵，∴抛物线的对称轴为直线 ，∵点与点在（1）中的抛物线上，且，∴ ，∴，∵，∴原式 ；②根据题意，画出图形，如下图，当 时，根据题意得：点与点在x轴上，此时这个新图象恰好与x轴恰好只有两个公共点；当 时，直线在x轴上方，翻折后得到的新图象与x轴无交点；当 时，直线在x轴上方，由①知抛物线的顶点坐标为 ，∴当 ，即 时，翻折后得到的新图象与x轴恰好只有两个公共点，∵点与点在（1）中的抛物线上，∴ ，∴；综上所述，b的取值范围是或．     22.（12分） 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．（1）试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；并指出当点D在BC上运动（不与B、C重合）时，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 解：（1）△ABD与△DCE相似∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE； （2）由（1）得△ABD∽△DCE∴=∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y∴=，y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，当x=时，y有最小值，最小值为； （3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，∴BD=CE，∴x=1﹣y，即x﹣x2=x，∵x≠0，∴x=﹣1∴AE=1﹣x=2﹣，当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE=；当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；综上，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．  23．（12分）如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N运动时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；则AE=4﹣3=1，BE=CD=2；由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；∴Rt△COD≌Rt△BAE；∴OD=AE=1，即C（1，2）；设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；∴直线AC的解析式为：y=﹣x+； （2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；∴tan∠CAD=；∵BN=t，OM=3t，∴CN=2﹣t，AM=4﹣3t；∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2﹣t）；∴PQ=NP﹣NQ=2﹣（2﹣t）=；设△AMQ的面积为S，则有：S=（4﹣3t）•=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2），[来源:学,科,网]∴当t=时，S值最大，且最大值为； （3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；QP=，PM=3﹣4t，AP=t+1；由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；∴PM=PA，即3﹣4t=t+1，解得t=；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即：（t+1）2=（3﹣4t）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；QP=，PM=4t﹣3，AP=t+1；若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；此时M、A重合，∴≤t≤2；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即（t+1）2=（4t﹣3）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．