2023届天津市南开中学高三上学期统练1数学试题含解析

天津市南开中学2023届高三上学期统练1

数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的部分图象可能是（    ）

A． B． 

C． D．

4．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知 ， 则（    ）

A． B．

C． D．

6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．已知，则角所在的区间可能是

A． B． C． D．

9．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．复数_________.

11．已知，求___________.

12．展开式中的常数项是_____． (用数字作答)

13．若点P（，)与点Q（cos()，sin())关于y轴对称，则绝对值最小的值为_____．

14．已知是定义在上的偶函数，且，当x时，f（x）=x，若函数（a0且a1 ）有且仅有 6 个零点，则 a 的取值范围是______．

三、双空题

15．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M，则______．

四、解答题

16．已知， .

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求 .的值

17．在四棱锥中，，，，，，平面，．

(1)若是的中点，求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)求与平面所成角的正弦值．

18．已知函数（为常数，且，）．

(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

19．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有三个零点，求的取值范围．

20．已知函数，为函数的导函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求m的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，所以，又，

所以.

故选：B

2．B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分不成立，

但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，

所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，

故选：B．

3．C

【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再根据趋近于时的值判断即可

【详解】因为，故为奇函数，排除AB，又当趋近于时，远远大于，所有函数逐渐趋近于0，排除D

故选：C

4．C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，，

所以，所以在上存在唯一的零点.

故选：C

5．C

【分析】根据对数函数的单调性，即得.

【详解】由题，，，，

所以.

故选：C.

6．C

【分析】通过弧长比可以得到与的比，接着再利用扇形面积公式即可求解

【详解】解：设，则，所以，即，

所以，

故选：C

7．B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

8．C

【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，排除B，只有C答案满足，故选C.

点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可排除A和D，当时，可求出与所求矛盾，排除B.

9．C

【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.

【详解】令，

当时，方程为，即，

作出函数及的图象，

由图象可知方程的根为或，即或，

作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；

当时，方程为，即，

由图象可知方程的根，即，

结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.

故选：C.

10．

【分析】根据复数的除法运算直接求解.

【详解】解：.

故答案为:.

11．##

【分析】先利用诱导公式对，可求出，再化简可求得结果

【详解】因为，

所以，得，

所以

故答案为：

12．

【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.

【详解】，

令，得，

故展开式中的常数项为．

故答案为：.

13．

【分析】根据给定条件可得角的终边与角的终边关于轴对称，再列式变形即可作答.

【详解】因点与在单位圆上，且关于轴对称，

即，且，则角的终边与角的终边关于轴对称，

即，于是得，

所以当时，绝对值最小的值为.

故答案为：

14．

【分析】由题意易知为的周期函数，函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，分别画出两个函数图像，使其有6个交点，即可列出不等式组，解出即为答案.

【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，

又，所以，

所以为的周期函数，

令，则，

所以，

又，所以当时，，

函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，

当时，函数与函数只有2个交点，不满足题意；

当时，画出图像：

如图所示，要使函数与函数有6个交点，

则，

故答案为：.

15．         

【分析】设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，，然后根据二项分布的知识算出答案即可.

【详解】由题意知，它的分布列为，k＝0，1，2，3，4，5，

所以．

设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，它的分布列为，

且事件，

又事件，，之间互斥，且X与Y相互独立，

所以．

故答案为：；.

16．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；

（2）利用弦化切，将化为，可得答案；

（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.

（1）

由得，

解得或 ，

因为，故，则；

（2）

；

（3）

.

17．(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）先证明两两垂直，以点坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可；

（3）利用空间向量法求解线面角即可.

（1）

解：取的中点，连接．

因为是中点，所以,

因为，，，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）

证明：因为平面，平面,平面,

所以，，又，所以两两垂直．

如图，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．

则，

所以，，

因为，所以，

因为平面，所以，

因为，平面,平面，

所以平面．

（3）

解：由（2）知是平面的一个法向量，，，

设与平面所成的角为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为．

18．(1)；

(2).

【分析】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；

（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.

（1）

当时，在上单调递增，

∴当时，，

对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，

令，则恒成立，即，

由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，

∴的取值范围是.

（2）

当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，

∴，解得，则，

此时，由可得：有实数解

令（当时取等号），则，

∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，

∴.

【点睛】关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为对恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为有实数解求参数范围.

19．(1)递减区间是；递增区间是，

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；

（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.

（1）

解：由题意，函数，可得，

因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，

可得，即，解得，   

所以，可得，

令，解得或．

当变化时，，的变化情况如下：

所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．

（2）

解：由函数，，

则，

函数在处取得极大值，在处取得极小值，

要使得有三个零点，则满足，即，解得，

所以的取值范围为．

20．(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数化简得，分类讨论求函数的单调区间即可；

（2）由恒等式化简可得，分离参数可得当时，，当时，，利用导数研究的单调性及最值即可求解.

（1）

由题可得，

①当时，时，，单调递减；

时，，单调递增；

②当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增；

③当时，时，，单调递增；

④当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

（2）

由恒成立，即，

，

当时，恒成立，

当时，，当时，，

令，则，

当时，，单调递减且，

所以

当时，得，

时，，单调递减，时，，单调递增；

，故

综上，m的取值范围为.