山东省枣庄市第十六中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附答案）

枣庄市第十六中学高二年级第一学期第一次单元检测

数学试题

一、单项选择题（分）

1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ）

A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D

2．在四面体OABC中，，，，，，用向量，，表示，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（    ）

A． B． C． D．

4．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示，为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（    ）

A． B． C． D．

6．在棱长为1的正方体中，则平面与平面之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE的夹角为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（选对每题5分，漏选每题2分错选0分）

9．空间向量，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．向量与向量共线

C．向量关于x轴对称的向量为

D．向量关于yOz平面对称的向量为

10．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．为钝角  D．在方向上的投影向量为

11．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（    ）

A．  B．

C． D．

12．在平行六面体中，，，点P在线段上，则（    ）

A．  B．P到和CD的距离相等

C．AP与所成角的余弦值最小为 D．AP与平面ABCD所成角的正弦值最大为

三、填空题（13-15题每题5分，16题第一空2分第二空3分）

13．．已知，，若向量，则实数m的取值范围为______．

14．．已知向量，，可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则______．

15．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响．在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为______

16．《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，ABEF的高分别为3，7，且，，，则______，______．

四、简答题（17题10分，其余题每题12分，写出必要证明解答过程）

17．如图，在三棱锥中，点D为棱BC上一点，且，点M为线段AD的中点．

（1）以为一组基底表示向量；

（2）若，，，求．

18．如图，在直三棱柱中，，，D为BC的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面．

19．如图所示，在直三棱柱中，，，，．

（1）求证：；

（2）在AB上是否存在点D，使得平面，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

20．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．

（1）证明：；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面的距离．

21．在正四棱柱中，，E为的中点（用向量的方法证明）

（1）求证：平面BDE．（用向量的方法证明）

（2）若F为上的动点，使直线与平面BDE所成角的正弦值是，求BF的长．

22．如图在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，O为AD的中点．

（1）求证：平面ABCD；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

高二上第一次月考参考答案及评分标准

1~8：ABDBB，BBC；

9．ABC，   10．BD，   11．BC，   12．BCD

13．或；    14．2；    15．；    16．14，

17．（10分）（1）∵M为线段AD的中点，∴，

∵，∴，

∴

（2）

．

18．（12分）（1）在直三棱柱中，，

∴以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，

，，，

则，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

∵，

且平面，则平面．

（2）∵，，

设平面的一个法向量，

则，取，得，

又平面的法向量，

则，则，

∴平面平面．

19．（1）因为，，，所以，

如图所示，在直三棱柱中，以C为坐标原点，直线CA、CB、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

因为，，

所以，，即．

（2）若存在点D使平面，则，，

，，，，

因为平面，所以存在实数m，n，使成立，

则，解得，

故在AB上存在点D使平面，

此时点D为AB中点．

20．（1）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立如图的坐标系，

则，，，，

所以，设，

所以，，故，

∴；

（2）解：当E为AB的中点时，，，

设平面的法向量是，

，，

由，，

得，令得，

∵，

由点到平面的距离公式，得，

∴点E到面的距离是．

21．（1）由题意可知，以D为坐标原点，建立如图示的空间直角坐标系．

，，，，，，

证明：设平面BDE的法向量，

，，

由，即，

取，得，

又，

因为，所以，

所以平面BDE．

（2）设点F的坐标为，，

由（1）知，，

设直线与平面BDE所成角为，则

，解得

所以点F的坐标为，，，

所以BF的长为1，

22．（1）∵，O为AD的中点，∴，

∵侧面底面ABCD，侧面底面，平面PAD，

∴平面ABCD；

（2）底面ABCD为直角梯形，其中，，，

∴，又平面ABCD，

∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

易得平面PAD的法向量，

，，，，，

设平面PCD的法向量，

则，取，得，

设二面角夹角为，则，

则，

∴二面角的正弦值为；

（3）设线段AD上存在，，

使得它到平面PCD的距离为，，

∴Q到平面PCD的距离，解得或（舍去），

则，则．