初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定课时训练

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专题02 全等三角形中的六种模型梳理

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型
中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．

【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【详解】解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，

∵点E是CD的中点，∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，
即x的取值范围是1＜x＜4．
【变式训练1】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，，，，，，
在与中，,，，；

（2）如图所示，，，
平分，，，
，，，作，
在与中，，，，，
在与中，，，，，，设，，，．

【变式训练2】（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴；

（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，∴；

（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，，∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，∴．

【变式训练3】在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．

（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．

（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或
【详解】（1）证明：如图1，

直线于点，直线于点，，，，
又为边中点，，
在和中，，，．
（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，

直线于点，直线于点，，
，，，
又为中点，，
又，∴在和中，，，
，，，
∵，，，
，，，，
．
（3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论
∵直线于点．直线于点，直线于点，
∴，
①如图3，当直线与线段交于一点时，

由（1）可知，，即，，
，，
∵，．
②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，，，
又为边中点，，
在和中，，，．
，即，，
，，
∵，．
③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．

由（2）得：，，，
∴，即，
．
④当直线与线段的延长线交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，，
，，
又为中点，，
又，∴在和中，，，
，，∴，即，
．
综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）

例．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．

(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．   
【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM
【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，
∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，
在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．
(2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，

由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，
在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，
∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，
在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，
故答案为：一定成立．
(3)解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示，

在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），
∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，
∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，
在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，
∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．
【变式训练1】如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．

(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立，，见解析
【解析】(1)EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；
(2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．
【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．

【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．
在和中，，，，．
，．．，．

方法2：延长到点，使得，连接，如图．

平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．

由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．

，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【变式训练3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【解析】解：（1）、分别是与的角平分线，
，，，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，

由（1）得，
，，∴，
在与中， ，∴（SAS）
∴，∴，∴，∴
在与中，，，，
，；∵，，∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，

，∴，
在与中， ，∴（SAS）∴，，
∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴，，
∴，
类型三、做平行线证明全等
例1．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：

【答案】见详解
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，∵是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等边三角形，∴BD=DE，
∵，∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，∴∆EMD≅∆CME，∴．

【变式训练1】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．
   
【变式训练2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME．
【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中 ，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．
(2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；
类型四、旋转模型
例．如图1，，，，、相交于点，连接．

（1）求证：，并用含的式子表示的度数；
（2）当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图2，判断的形状，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；；（2）为等腰直角三角形；证明见解析．
【详解】证明：（1）如图1，，
，，
在和中，，，；
，，
中，，,
，
中，；即；
（2）为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，，
，的中点分别为点、，，
，，
在和中，，，
，且，
又，，，为等腰直角三角形．
【变式训练1】四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；

（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）．
【解析】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，
∴点Q在直线CA上，

∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；
（2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，
则DN=DP，AN=BP，

∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，

∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，
∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8
【变式训练2】（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为　 　°；
②线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

【答案】（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°
【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
故答案为：60；
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案为：AD=BE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，
∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；
（3）如图3，

由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠AOE=180°-120°=60°，
如图4，

同理求得∠AOB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
【变式训练3】如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）
【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN，
∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=14， ∴PM=7，
∴S△PMN最大= PM2=×49=．

类型五、手拉手模型
例．在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．


(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；
(3)如图（3），，，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将沿着BP翻折得到，连接QC．当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)AF=3；(2)见解析；(3)，详见解析
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，
由旋转知，∠CDF=60°，CD=CF，∴△DCF为等边三角形，∴CD=CF，∠DCF=60°，
∴∠DCB=∠ACF，∴△BCD≌△ACF，∴AF=BD，
∵D为AB中点，AB=6，∴BD=3，∴AF=3．
(2)解：将CF绕C顺时针旋转60°得CH，连接CH，FH，EF，EH，CD，
在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M，
如图所示，

由旋转知，△DEF、△CFH为等边三角形，
∴DF=EF，CF=FH，∠DFE=∠CFH=60°，∴∠DFC=∠EFH，∴△DCF≌△BHF，
∴EH=CD，∠DCF=∠EHF，
由三角形内角和知，∠HMC+∠EHF=∠DCF+∠HFC，
∴∠HMC=∠HFC=60°，∴∠DCE+∠HEC=60°，
∵∠DCP+∠DCE=60°，   ∴∠CEH=∠DCP，
∵AC=BC，AP=BE，∴CP=CE，∴△ECH≌△CPD，∴CH=DP，∠DPC=∠HCE，
又∠HCE=60°+∠2，∴∠DPC=60°+∠2，
由∠1+∠FCG=∠2+∠FCG=60°，知∠1=∠2，又∠AGD=60°+∠1，∴∠AGD=∠DPG，   ∴DP=DG，
∵CH=CF，∴CF=DG．
(3)：过D作DH⊥CB于H，连接EF，如图所示，

∵△ABC为等边三角形，∴∠DBH=60°，∠BDH=30°，
∴BD=2BH，DH=，
∵BD=2CE，∴BH=CE，
设BH=CE=x，则BD=2x，EH=6－2x，AD=6－2x，
由旋转知，△DEF为等边三角形，∠EDF=60°，∴∠1+∠3=90°，DE=DF，
又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF≌△HED，
∴∠DAF=∠DHE=90°，∠PAF=30°，AF=DH=，
∵∠AFP=90°，∴PF=x，AP=2x，
过P作PM⊥AD于M，则AM=x，DM=6－3x，PM=，
在Rt△PDM中，由勾股定理得：PD=，
故△ADP周长=AD+AP+PD=6－2x+2x+=6+，
∴当x=时，周长取最小值，最小值为9，此时DP=3，
∴BD=AP=3，即D为AB中点，P为AC中点，
∴直线BP是等边△ABC对称轴，
如图所示，△BDP沿BP折叠后，Q点落在BC中点处，
则△PCQ面积=×△ABC面积=××=．
【变式训练1】△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．

(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析
【解析】(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)解：α=60°，理由如下：
同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，
而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．

【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；

【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　．

【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【详解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5，
∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，   
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴，
∴ ．
（3）如图，

∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，
则BE＝AD，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，   
∴CD＝DE＝8．
【变式训练3】（1）问题发现：
如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示）

【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）
【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°
∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE，∴∠AEB=90°
故答案为：90°，AD＝BE
（2） AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
（3） 同理可得△ACD≌△BCE，则AD=BE，
延长交于点F，
设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α
∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α
∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°

∴AD⊥BE
（3）如图，延长BE交AD于点G，

∵和均为等腰三角形，∴，，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD
∵，∴∠CBA=∠CAB =
∴∠GAB+∠GBA=，
∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ，即直线和的夹角为．
故答案为：．
类型六、一线三角模型
例.在中，，，直线MN经过点C且于D，于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①≌；
②；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析
(3)（或者对其恒等变形得到，），证明见解析
【解析】(1)解：①，，，
，，，
在和中，；
②，，，；
(2)证明：，，，，
在和中，；，，
；
(3)证明：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：或或．
理由如下：，，
，
，
在和中，
，
，，
（或者对其恒等变形得到或）．
【变式训练1】【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；

【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．
【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；

（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），
∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，
由（1）可知，△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，
∴OM＝OC+CM＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．

【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．

【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【详解】（1）证明：直线，直线，
，
，，
，
，
在和中，，；
解：（2）成立，理由如下：
，，
，
在和中，，；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴△DFE是等边三角形．
【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ．

【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）△DEF是等边三角形
【解析】（1）解：如图1，

∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
故答案为：DE＝BD+CE
（2）解：如图2，

∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）证明：如图3，

由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．