通用版高考数学(文数)一轮复习第05单元《三角函数及其恒等变换》学案(含详解)

这是一份通用版高考数学(文数)一轮复习第05单元《三角函数及其恒等变换》学案(含详解)，共80页。

第五单元 三角函数及其恒等变换
教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过

三角函数的有关概念
[过双基]
1．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧长、扇形面积公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．

(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
　
1．(济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝(　　)
A. B．±
C．－ D．－
解析：选D　依题意得cos α＝＝x＜0，由此解得x＝－，选D.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，故α＝.
4．已知扇形的半径r＝10 cm，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm2.
解析：因为120°＝，由扇形的面积公式可得S＝αr2＝××102＝π(cm2)．
答案：π
5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．　
解析：2 010°＝π＝12π－，
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－.
答案：－
[清易错]
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
1．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：D
2．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为点P在角θ的终边上，
所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－.
又θ∈[0,2π)，所以θ＝.
3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sin α＋cos α＝________.
解析：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，
当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝.
故sin α＋cos α＝或－.
答案：±

三角变换公式
[过双基]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝；
(2)商数关系
tan α＝.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α


口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限

3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.

1．已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是(　　)
A．±　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－
解析：选C　由α∈，tan(α－π)＝tan α＝－<0，得α∈，sin α＝－cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－.
2．已知sin＝，则cos(π－2α)的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B　由sin＝，可得cos α＝，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝.
3．已知cos＝，则sin＝________.
解析：因为cos＝，所以sin＝sin－＝cos＝.
答案：
4．已知tan α＝2，则＝________.
解析：因为tan α＝2，所以原式＝＝＝.
答案：
5．计算：＝________.
解析：＝＝＝＝.
答案：
[清易错]
1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．
2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
1．已知α∈，sin α＋cos α＝，则cos(2 018π－2α)＝(　　)
A．± B．－
C．－ D．±
解析：选B　将sin α＋cos α＝两边平方，化简可得sin 2α＝－，
因为α∈，sin α＋cos α＝>0，
所以α∈，2α∈，所以cos 2α<0，
则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－＝－.
2．若cos＝，α∈，则sin α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由cos＝，α∈，可得sin＝，
则sin α＝sin＝×－×＝.

正弦、余弦、正切函数的图象与性质
[过双基]
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
x≠kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间：(k∈Z) 递减区间：(k∈Z)
递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
递增区间(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心(kπ，0)(k∈Z)
对称中心(k∈Z)
对称中心(k∈Z)
对称轴：x＝kπ＋
(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)

周期
2π
2π
π
　
1．函数y＝1－2sin22x的最小正周期是(　　)
A. B.
C. D．π
解析：选B　因为函数y＝1－2sin22x＝cos 4x，所以函数的最小正周期T＝.
2．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为x∈，所以ωx∈，又因为函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，所以＝，则ω＝.
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝(　　)
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选A　由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin ＝1.
4．(杭州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
5．若函数f(x)＝sin ω x(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选B　∵f(x)＝sin ω x(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx ≤，即≤x ≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
[清易错]
1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan>tan，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
1．(石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
2．函数f(x)＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的单调递增区间是________________．
解析：f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间是，.
答案：，

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
[过双基]

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋

－

ωx＋φ





y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
　　　法一　　　　　　　　　　　法二


1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．将函数y＝sin 2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是(　　)
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin＋1 D．y＝sin＋1
解析：选B　由题意可得函数的解析式为
y＝sin＋1＝sin＋1.
3.函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值为(　　)
A. B.
C．9＋1 D.
解析：选D　因为△ABC是正三角形，
所以△ABC的高是6，
则△ABC的边长是12，
即函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)的周期为12，
所以ω＝，f(x)＝3sin x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝3sin ＋3sin ＋3sin ＝.
4.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
解析：选D　由图象可知，A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又sin＝0且0<φ<，所以φ＝，则y＝sin，由图象变换可知选D.
[清易错]
1．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C　∵y＝cos(2x＋1)＝cos ，
∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可．
2．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝.
答案：

一、选择题
1.(杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)
A．(cos θ，sin θ)　 B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A　由三角函数的定义知xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选A.
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)
A．重合　　　　　　　　　 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C　角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．
又角θ与－θ的终边关于x轴对称．
∴角α与β的终边关于x轴对称．
3．已知sin＝，α∈，则cos的值是(　　)
A. B.
C．－ D．1
解析：选C　由已知得cos α＝，sin α＝－，
∴cos＝cos α＋sin α＝－.
4．(淄博调研)已知tan α＝2，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A　sin2α－sin αcos α＝＝，把tan α＝2代入，原式＝.
5．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选B　∵f(x)＝sin＝－cos 2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.
经验证可知f＝sin＝sin π＝0，
即是函数f(x)的一个对称点．
7．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：选B　平移后的函数为y＝3sin＝3sin，增区间：－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0时，≤x≤，故所得图象对应的函数在上单调递增，在上不单调，故选B.
8.(河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为
B．函数f(x)的图象可由g(x)＝Acos ωx的图象向右平移个单位长度得到
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上单调递增
解析：选D　函数的最小正周期T＝2＝，选项A正确；由T＝得ω＝3.又f＝Acos＝0，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又f＝Acos＝Asin φ＝－，所以sin φ<0，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)＝Acos，函数g(x)＝Acos 3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝g＝Acos＝Acos＝f(x)，选项B正确；当x＝时，f(x)＝A，因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项C正确；当x∈时，3x－∈，故函数f(x)在上不是单调递增的，选项D错误．
二、填空题
9．函数f(x)＝sin x－4sin3cos的最小正周期为________．
解析：f(x)＝sin x－2sin2sin x＝sin xcos x＝sin 2x，所以函数的最小正周期T＝π.
答案：π
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则tan的值为________．
解析：由题意知cos α＝，因为α为锐角，
所以cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
所以tan＝－tan＝－＝－.
答案：－
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝________.

解析：由图象知A＝1，T＝4＝π，
故ω＝2，再由2×＋φ＝，得φ＝－.
答案：－
12．函数f(x)＝log2的最大值为________．
解析：因为＝＝sin x＋cos x＝sin∈(0，]，
又因为函数y＝log2x是增函数，
所以，当＝时，函数f(x)＝log2 取得最大值为.
答案：
三、解答题
13．设函数f(x)＝3sin的最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)利用“五点作图法”，画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(3)已知f＝，求cos α的值．
解：(1)∵T＝＝⇒ω＝4，
∴f(x)＝3sin.
(2)列表：
4x＋
0

π

2π
x
－




f(x)
0
3
0
－3
0
图象如图所示：

(3)∵f＝3sin
＝3sin＝3cos α＝，∴cos α＝.
14．已知向量m＝，n＝，记f(x)＝m·n.
(1)若f(x)＝1，求cos的值；
(2)在锐角△ABC中，(2a－c)cos B＝bcos C，求f(2A)的取值范围．
解：(1)f(x)＝m·n＝sin cos ＋cos2＝sin ＋cos＋＝sin＋，
由f(x)＝1，得sin＝，
所以cos＝1－2sin2＝.
(2)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，
所以sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，所以cos B＝，
又0 则A＋C＝，A＝－C，又0 则 所以 又因为f(2A)＝sin＋，
故函数f(2A)的取值范围是.
15．(青岛模拟)已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a
＝4cos ωx·sin ωx＋cos ωx＋a
＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a
＝2sin2ωx＋＋1＋a.
当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，
又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，
∴a＝－1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝2，∴ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
高考研究课(一)
三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
三角函数的定义
5年2考
用三角函数的定义求值
同角三角函数基本关系式
5年2考
求值
诱导公式
5年1考
变角求值


三角函数的定义
[典例]　(1)点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．
[解析]　(1)设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则∠AOQ＝－2π＝(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，所以点Q的坐标为.
答案：
(2)由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cos α＝＝－， tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cos α＝＝－， tan α＝.
[方法技巧]
(1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．　　
[即时演练]
1．已知角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P，则sin＝(　　)
A．－　　　　　　 　 　　 B.
C．－ D．1
解析：选A　因为角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P，所以cos α＝，
所以sin＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.
2．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：选A　由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.

诱导公式
[典例]　(1)(淄博模拟)已知sin＝，则cos＝________；
(2)化简：＝________.
[解析]　(1)cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
(2)原式＝
＝＝＝1.
[答案]　(1)－　(2)1
[方法技巧]
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
思路方法：
(1)分析结构特点，选择恰当公式；
(2)利用公式化成单角三角函数；
(3)整理得最简形式．
化简要求：
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．　　
[即时演练]
1．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选D　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
即f(2 017)＝－3.
2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
答案：－

同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：
(1)知弦求弦、切问题；
(2)知切求弦问题；
(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题；
(4)已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题.
角度一：知弦求弦、切问题
1．已知cos α＝k，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)
A．－ B.
C．± D．－k
解析：选A　由cos α＝k，α∈，得sin α＝，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.
2．已知sin＝－，α∈(0，π)，则cos α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　因为α∈(0，π)，所以α＋∈，
又因为sin＝－，所以α＋＝，即α＝，
则cos α＝－.
角度二：知切求弦问题
3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　由tan(α－π)＝，得tan α＝，
又因为α∈，所以α为第三象限角，
所以sin α＝－，cos α＝－.
所以sin＝cos α＝－.
角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题
4．(揭阳模拟)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，
将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝，
故2sin αcos α＝－.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
∴sin α－cos α＝.
答案：
角度四：已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题
6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 则sin α＋cos α＝________.
解析：由tan α＝－，得sin α＝ －cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，
∴cos α＝－， sin α＝，
故 sin α＋cos α＝－.
答案：－
7．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________．
解析：＝
＝
＝
＝＝.
答案：
[方法技巧]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ

1．(全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：选A　因为tan α＝，所以cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5，故cos α＝＝＝－.
3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则(　　)
A．sin 2α>0 B．cos α>0
C．sin α>0 D．cos 2α>0
解析：选A　由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.
4．(全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝ ＝.
tan＝tan
＝－
＝－
＝－×＝－.
答案：－

一、选择题
1.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且B，点C在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选B　由已知可得OB＝1，即圆O的半径为1，
又因为BC＝1，所以△OBC是等边三角形，
所以cos＝cos
＝－sin＝－sin∠BOA＝－.
2．(江西六校联考)点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°)
＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)
＝－cos 38°＜0，
所以点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限．
3．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B　tan θ＋＝＋＝＝2.
4．(江西五校联考)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　原式＝
＝
＝＝＝.
5．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
解析：选C　设沿x轴正方向逆时针旋转到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cos α，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cos α－sin(α＋30°)＝－sin α＋cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
6．(日照模拟)已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵sin α＋cos α＝，∴1＋sin 2α＝，即sin 2α＝－，又∵－<α<0，∴cos α－sin α>0.
∴cos α－sin α＝＝，
∴＝＝.
二、填空题
7．若tan α＝3，则＝________.
解析：因为tan α＝3，所以＝＝＝2.
答案：2
8．(枣庄模拟)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
答案：0
9．(成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且OP＝r(r＞0)，定义：sicos θ＝，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin＝________.
解析：因为sicos θ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin＝cos＝；当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin＝cos＝.综上得sin＝.
答案：
三、解答题
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
∴sin α＝＝－，＝＝，
∴10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，∴sin α＝＝，
＝＝－，
∴10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
11．已知cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α
＝－，∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
12．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)∵cos＝，∴－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.

1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则cos β的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　因为m＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m.因为β为第三象限角，所以cos β＝－＝－.
2．化简(n∈Z)的结果为________．
解析：当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
故化简的结果为sin2x.
答案：sin2x
高考研究课(二)
三角函数的1个常考点——图象与性质
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
三角函数的图象与性质
5年4考
由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，三角函数性质的综合问题


三角函数的定义域、值域
[典例]　(1)函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．
(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
(3)函数f(x)＝cos2x＋sin x的值域为________．
[解析]　(1)要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，
则即
解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤9，
∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1，
故－≤2sin≤2.
即函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.所以最大值与最小值的和为2－.
(3)f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1
＝－2＋，
又∵x∈，
∴sin x∈，
∴f(x)∈.
[答案]　(1)，k∈Z　(2)2－
(3)
[方法技巧]
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
2．三角函数最值或值域的求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求值域．　　
[即时演练]
1．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为(　　)
A．[－1,1]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
解析：选D　∵y＝|sin x|＋sin x
＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2]，
即函数的值域为[0,2]．
2．在△ABC中，sin Acos B＝－(2sin C＋sin B)cos A，则函数f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－A)在区间上的最大值为________．
解析：由sin Acos B＝－(2sin C＋sin B)cos A，
可得sin(A＋B)＝－2sin Ccos A，即sin C＝－2sin Ccos A.
因为sin C≠0，所以cos A＝－，则A＝，
所以f(x)＝2sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝sin.
因为x∈，所以2x－∈，
所以f(x)max＝f＝.
答案：
3．求函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最值．
解：令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]．
∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，
∴sin xcos x＝，
∴y＝t2＋t－，t∈[－，]，
∵对称轴t＝－∈[－，]，
∴ymin＝f＝×－－＝－，
ymax＝f()＝＋.

三角函数的单调性
[典例]　(浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[思路点拨]　(1)欲求f的值，把x＝直接代入f(x)的解析式求解；
(2)欲求函数f(x)的性质问题，应把f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．
[解]　(1)由sin ＝，cos ＝－，
得f＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
[方法技巧]
1．求三角函数单调区间的2种方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间
2．已知三角函数的单调区间求参数取值范围的3种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
[即时演练]
1．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减函数，则ω的取值范围是________．
解析：由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)且≥2×，
则且0＜ω≤2，
故≤ω≤.
答案：
2．函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x的递减区间是________．
解析：f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋(cos 2x＋1)＝sin＋，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的递减区间是，k∈Z.
答案：，k∈Z

三角函数的周期性、奇偶性及对称性 　
正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.
常见的考查角度有：
(1)三角函数的周期性；
(2)三角函数的奇偶性；
(3)三角函数的对称性；
(4)三角函数性质的综合应用.
角度一：三角函数的周期性
1．(山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A. B．π
C. D．2π
解析：选B　法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sincos＝2sin，
∴T＝＝π.
法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
∴T＝＝π.故选B.
2．已知函数f(x)＝3sin ωxcos ωx－4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，且f(θ)＝，则f＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B　f(x)＝sin 2ωx－2cos 2ωx－2，
因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝1，
又f(θ)＝sin 2θ－2cos 2θ－2＝，
即sin 2θ－2cos 2θ＝，
则f＝sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－.
角度二：三角函数的奇偶性
3．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋ cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：选B　据已知可得f(x)＝2sin，
若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，
又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，
经代入检验符合题意．
[方法技巧]
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时，当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时，当x＝0时，f(x)＝0.　　
角度三：三角函数的对称性
4．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．－
解析：选B　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，则由题意，知f＝2sin＝0，又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－2sin ＝－，故选B.
5．设函数f(x)＝sin－1(ω>0)的导数f′(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选A　f′(x)＝ωcos，因为导数f′(x)的最大值为3，所以ω＝3，则f(x)＝sin－1，令3x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，可得x＝，故选A.
[方法技巧]
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．　　
角度四：三角函数性质的综合应用
6．已知函数f(x)＝cos(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)图象关于点对称
C．函数f(x)在区间上是减函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：选C　函数f(x)＝cos的最小正周期为π，且f＝0，f＝，则函数f(x)图象关于点对称，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，因此A、B、D正确，令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)在区间上不单调，故C错误．
7．(福建连城模拟)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若当x∈时，关于x的方程f(x)－m＝2有解，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝2sin2－cos 2x＝1－cos－cos 2x＝2sin＋1，
则函数f(x)的最小正周期为π.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)∈[2,3]，
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．

1．(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D　根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
2．(全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选A　因为cos＝cos＝sin，所以f(x)＝sin，于是f(x)的最大值为.
3．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π
C．π D.
解析：选C　函数f(x)＝sin的最小正周期
T＝＝π.
4．(全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B　由题意得

则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.
若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；
若ω＝9，则φ＝，
此时f(x)＝sin，
满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
5．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C　对①，∵y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝＝π，∴y＝cos |2x|的最小正周期为π；对于②，∵y＝cos x的最小正周期为2π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π；对于③，y＝cos的最小正周期为T＝＝π；对于④，y＝tan的最小正周期为T＝.
综上，①②③的最小正周期为π，故选C.

一、选择题
1．函数f(x)＝(1－cos 2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C．1 D．0
解析：选B　f(x)＝(1－cos 2x)cos2x＝(1－cos 2x)·＝＝，则A＝，T＝，则f(AT)＝＝.
2．(广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
解析：选A　因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以sin＝1，则φ＝2kπ＋，k∈Z，则y＝cos＝cos，当x＝时，y＝0，故A正确．
3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选D　易知函数y＝sin的最小正周期为4π，故排除A；当x＝时，y＝sin＝0，故排除B；当x∈时，2x＋∈，函数y＝cos在x∈上单调递增，故排除C；对于函数y＝sin，可知其最小正周期T＝＝π，将x＝代入得，y＝sin＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin在上是减函数，故选D.
4．若函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为0≤x≤π，所以≤ωx＋≤ωπ＋，
又因为函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，
所以π≤ωπ＋≤，即≤ω≤，
则ω的取值范围是.
5．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0<φ<的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝(　　)
A．4 033 B．4 034
C．4 035 D．4 036
解析：选C　∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋A>0，ω>0,0<φ<的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cosx＋＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＋2×2 018＝－504×0－sin－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.
6．(洛阳统考)已知f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝.∵f(x)≤，∴x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，即＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．又f＞0，∴φ的取值可以是－，∴f(x)＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选B.
二、填空题
7．函数f(x)＝＋tan的定义域是________．
解析：依题意得
∴0 ∴函数f(x)的定义域是.
答案：
8．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(k∈Z)．　　
答案：(k∈Z)
9．已知函数f(x)＝|cos x|sin x，给出下列五个说法：
①f＝－；
②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；
③f(x)在区间上单调递增；
④函数f(x)的周期为π；
⑤f(x)的图象关于点成中心对称．
其中正确说法的序号是________．
解析：①f＝sin＝－sin ＝－，①正确；
②令x1＝0，x2＝，则|f(x1)|＝|f(x2)|＝0，而x1＝x2＋kπ(k∈Z)不成立，故②错误；
③在区间上，f(x)＝|cos x|sin x＝cos xsin x＝sin 2x是增函数，故③正确；
④因为f(x＋π)＝|cos(x＋π)|sin(x＋π)＝－|cos x|sin x≠f(x)，故④错误；
⑤设(x，y)在函数f(x)的图象上，则关于对称的点为(π－x，－y)，因为f(π－x)＝|cos(π－x)|sin(π－x)＝|cos x|sin x＝y≠－y，即点(π－x，－y)不在函数f(x)的图象上，故⑤错误．因此正确的序号是①③.
答案：①③
三、解答题
10．设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝sin －cos －cos ＝sin －cos ＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝6.
(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(x)＝f(2－x)＝sin.
因为x∈，所以－∈，
所以sin∈，g(x)∈.
故当x＝0时，函数g(x)取得最大值.
11．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤，
∴－≤sin ≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，
∴a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
12．(江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.

1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象过点B(0，－1)，且在上单调，同时f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合．当x1，x2∈，且x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D.
解析：选B　由题意知，2sin φ＝－1，∴sin φ＝－，
∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，平移后的函数解析式为g(x)＝2sin＝2sin，
∴ωπ＝2kπ，k∈Z，∴ω＝2k，k∈Z.
又－≤＝，
∴ω≤，故ω＝2，
∴f(x)＝2sin，故其图象的对称轴为x＝＋，k∈Z，借助题设可知x1＋x2＝2×＝－，从而可求得f(x1＋x2)＝f＝－1.
2．已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝4cos ωxsin
＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1
＝sin 2ωx－cos 2ωx－1
＝2sin－1.
且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，
从而f(x)＝2sin－1.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.
(2)当x∈时，2x－∈，
所以2sin∈.
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
故f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.
高考研究课(三)
三角函数的1个必考点——函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
y＝Asin(ωx＋φ)图象变换
5年3考
图象变换及求平移单位
由图象求解析式
5年1考
已知图象求解析式
y＝Asin(ωx＋φ)的性质
5年3考
已知图象或图象变换后研究单调性、对称性


函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[典例]　(1)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位　 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
(2)(景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.

①求a的值及f(x)的最小正周期；
②在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．
[解析]　(1)∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．
答案：B
(2)①f(x)＝4cos xsin＋a
＝4cos x·＋a
＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a，
∵f(x)的最大值为2.
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
②由①知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1

画出函数图象如图所示：

[方法技巧]
1．三角函数图象变换的2要点
(1)常规方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．
(2)方程思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin，可设平移φ个单位长度，即2(x＋φ)＝2x＋⇒φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度．
2．用“五点法”作图的注意点
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
(2)求出周期T＝.
(3)求出振幅A.
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．　　
[即时演练]
1．(湖南常德质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)＝sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C　由图象知A＝1，＝－＝，所以T＝π＝，ω＝2，此时函数f(x)＝sin，代入得sin＝－1，
∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝，
f(x)＝sin＝sin，
∴g(x)＝sin 2x向左平移个单位长度得到f(x)的图象．
2．要得到函数y＝sin x＋cos x的图象，可以由函数y＝sin x－cos x的图象向左平移得到，则平移的最短长度为________．
解析：易知y＝f(x)＝sin x＋cos x＝＝sin，同理可得y＝g(x)＝sin x－cos x＝sin，根据“左加右减”的方法知，g(x)的图象向左至少平移个单位与f(x)的图象重合，所以由函数y＝sin x－cos x的图象向左平移得到y＝sin x＋cos x的图象，则平移的最短长度为.
答案：

由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例]　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝(　　)
A．0 B.
C.＋2 D．1
(2)如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0,0≤φ＜2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．

[解析]　(1)由图象可知，A＝2，周期T＝8，故ω＝，
又三角函数的图象过原点，所以φ＝0，
所以f(x)＝2sin x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，
即每一个周期内的三角函数值之和为0，
因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝＋2.
(2)由图象可知b＝20，A＝＝10，
＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝.
将(6,10)代入y＝10sin＋20，
可得sin＝－1，
由0≤φ＜2π可得φ＝，
∴y＝10sin＋20.
[答案]　(1)C　(2)y＝10sin＋20
　[方法技巧]
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b
先确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω
先确定函数的周期T，则可得ω＝.
(3)求φ
常用方法有：①代入法．把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法．确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下：
选“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝0；
选“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝；
选“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；
选“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝；
选“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.　
[即时演练]
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选D　观察图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数f(x)图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝.
2．(天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A　法一：由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
法二：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.

y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质　
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综合一起考查，属中低档题.
常见的命题角度有：
(1)图象变换与性质的综合；
(2)解析式的求法与性质的综合；
(3)图象与性质的综合问题.
角度一：图象变换与性质的综合
1．定义行列式运算＝a1b2－a2b1，将函数f(x)＝的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可得f(x)＝cos x－sin x＝2cos，则平移后所得图象对应函数的解析式g(x)＝2cos，因为g(x)是偶函数，所以t＋＝kπ，k∈Z，t＝kπ－，k∈Z，由题意可知，当k＝1时，t取得最小值为.
角度二：解析式的求法与性质的综合
2．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f(2)＝0，若将函数f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由题图可设A(x1,3)，B(x2，－3)，
所以|AB|＝＝10，
解得|x1－x2|＝8，
所以T＝2|x1－x2|＝16，
故＝16，解得ω＝.
所以f(x)＝3sin，
由f(2)＝0，得3sin＝0，
又－≤φ≤，所以φ＝－.
故f(x)＝3sin，
将f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝f(x－t)＝3sin
＝3sin.
由题意得，函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以t＋＝kπ＋(k∈Z)，解得t＝8k＋2(k∈Z)，
故正数t的最小值为2，选B.
角度三：图象与性质的综合问题
3．(江西联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是，函数y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－，则当ω取得最小值时，函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　依题意得，f＝2sin－1＝0，即sin＝，得＋φ＝2k1π＋或＋φ＝2k2π＋(其中k1，k2∈Z) ①.又sin＝±1，即－＋φ＝k3π＋(其中k3∈Z) ②.由①－②得＝(2k1－k3)π－或＝(2k2－k3)π＋，即ω＝2(2k1－k3)－或ω＝2(2k2－k3)＋(其中k1，k2，k3∈Z)，因此ω的最小值为.因为sin＝sin＝±1，所以－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝＋，所以当ω＝时，f(x)＝2sin－1＝2cos－1，当2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ－(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．因此，当ω取得最小值时，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，选B.
4．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)先将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
解：(1)因为sin＝sin＝cos，
所以f(x)＝cos＋2sincos
＝cos＋sin
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin＝cos 2x，所以函数g(x)＝cos x，作出函数g(x)＝cos x，x∈的图象与直线y＝a，如图所示，由图易知a∈.

[方法技巧]
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　　

1．(全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
2．(全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选A　由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.
3．(全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选D　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
4．(全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
5．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D　由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，
得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
6．(全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，
所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：

一、选择题
1．(长沙质检)将函数y＝cos 2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是(　　)
A．y＝－sin 2x　　　　　 B．y＝－cos 2x
C．y＝2sin2x D．y＝－2cos2x
解析：选C　y＝cos 2xy＝cos 2x＋y＝cos ＋1，即y＝cos(2x＋π)＋1＝1－cos 2x＝2sin2x.
2．已知曲线C1：y＝sin x，曲线C2：y＝cos，则下面结论正确的是(　　)
A．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到C2
B．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到C2
C．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，得到C2
D．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，得到C2
解析：选D　因为曲线C1：y＝sin x＝cos，
所以将曲线C1横坐标缩短到原来的倍得函数y＝cos的图象，
再向左平移个单位可得到曲线C2：y＝cos.
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0.函数图象的两个对称轴间最短距离为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为(　　)
A．y＝－2sin＋2 B．y＝2sin＋2
C．y＝－2sin D．y＝4sin
解析：选A　由函数的最大值与最小值可得A＝2或－2，m＝2.由函数图象的两个对称轴间最短距离为，可知函数的最小正周期为π，则ω＝2.又直线x＝是其图象的一条对称轴，所以×2＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得φ＝，故选A.
4．(河南六市联考)将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(　　)
A．6 B．3
C．4 D．2
解析：选A　由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－＜φ＜，∴φ＝0，y＝Asin ωx.由函数图象向左平移个单位得到函数y＝Asin＝Asin，其图象关于原点对称，∴有ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，故选A.
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g(x)＝cos ωx的图象，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选C　由函数f(x)的最小正周期为π，可得ω＝2，所以函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)＝cos 2x＝sin＝sin2x＋＋φ的图象，所以＋φ＝，即φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因为f＝sin＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称．
6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上单调递减，则ω＝(　　)
A．3 B．2
C．6 D．5
解析：选B　∵f(x)在上单调递减，且f＋f＝0，∴f＝0，∵f(x)＝sin ωx＋·cos ωx＝2sin，∴f＝f＝2sin＝0，∴ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝3k－1(k∈Z)．又·≥－，ω>0，∴0<ω≤3，∴ω＝2.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
8.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f＝________.
解析：依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，其中k∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝，故f(x)＝－sin πx，f＝－sin＝－.
答案：－
9.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).
则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝，φ＝－；
②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；
③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；
④当t＝20时，|PA|＝6.
解析：①由点A(3，－3)，可得R＝6，由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；
②由①知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；
③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；
④f(t)＝6sin，当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．
答案：①②④
三、解答题
10．(山东高考)设函数f(x)＝sin＋sinωx－，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＝
＝sin.
因为f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
11．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a＝3，g＝，sin B＝cos A，求b的值．
解：(1)因为m＝(sin x，－1)，n＝，
所以f(x)＝(m＋n)·m
＝·(sin x，－1)
＝sin2x＋sin xcos x－
＝sin 2x－(1－2sin2x)
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)得g(x)＝sin＝sin 2x，
因为g＝sin A＝，
所以sin A＝，
在△ABC中，sin B＝cos A>0，
可得sin B＝cos A＝ ＝，
由正弦定理＝，
可得b＝＝＝3.
12．(山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；
(3)若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，
∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z.
∵|φ|＜，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin 2x－cos 2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位就得到函数y＝f(x)的图象．
(3)

当－≤x≤0时，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在上有2个交点，结合图形，易知－2＜m≤－.
故m的取值范围为(－2，－]．

1．将函数y＝sin的图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：选A　因为点P在函数y＝sin的图象上，
所以t＝sin＝，
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，
因为P′位于函数y＝sin 2x的图象上，
所以sin＝，即cos 2s＝，
所以s＝kπ±，k∈Z，
所以当k＝0时，可得s的最小值为.
2.函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2＋sin ωx－3＝sin ωx＋3cos ωx
＝2＝2sin，
由正三角形ABC的高为2，得|BC|＝4，所以f(x)的周期为8，故ω＝，f(x)的值域为[－2，2]．
(2)由(1)知f(x)＝2.
所以由f(x0)＝，得sin＝.
又x0∈，知x0＋∈，
故cos＝，
所以f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2＝.
高考研究课(四)
三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
三角变换求最值
5年2考
三角变换与最值
三角变换求值
5年7考
给角求值、给值求值


三角函数式的化简
[典例]　(1)化简：
(0＜α＜π)＝________.
(2)(滕州一中模拟)计算：－sin 10°·＝________.
[解析]　(1)原式＝

＝
＝.
因为0＜α＜π，
所以0＜＜，
所以cos＞0，
所以原式＝cos α.
(2)原式＝－sin 10°·
＝－
＝
＝
＝
＝.
[答案]　(1)cos α　(2)
[方法技巧]
三角函数式的化简方法及基本思路
(1)化简方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等．　　
(2)化简基本思路
“一角二名三结构”，即：
一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；
二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin α·cos α的齐次分式化切等；
三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等.)
[即时演练]
1.的值为________．
解析：原式＝
＝
＝＝＝1.
答案：1
2．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos －sin2α
＝1－－
＝.
答案：
3．(江苏高考)若tan＝，则tan α＝________.
解析：tan α＝tan
＝＝＝.
答案：

条件求值问题
三角函数条件求值问题是高考命题的热点.
常见的命题角度有：
(1)给角求值；
(2)变角求值；
(3)给值求角.
角度一：给角求值
1．计算：－tan 20°＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：选A　－tan 20°＝－＝＝＝.
2．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)的值是(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选B　∵(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°，
tan 45°＝＝1，
∴(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2，
同理(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝2，
∴(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝4.
[方法技巧]
求解给角求值问题的3个注意点
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
(2)观察名，尽可能使函数统一名称．
(3)观察结构，利用公式，整体化简．　　
角度二：变角求值
3．(深圳调研)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或－ D.或
解析：选A　∵α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，∴sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.
4．设tan(α＋β)＝，tan＝－，则tan的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为tan(α＋β)＝，tan＝－，
所以tan＝tan
＝＝.
[方法技巧]
在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝－，α＝(α－β)＋β，＋α＝－，15°＝45°－30°等．　　
角度三：给值求角
5．(成都一诊)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选A　因为α∈，所以2α∈，
又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，
故cos 2α＝－.
又β∈，所以β－α∈，
故cos(β－α)＝－.
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－×－×＝，
且α＋β∈，故α＋β＝.
6．在△ABC中，若4sin A＋2cos B＝4，sin B＋cos A＝，则角C＝________.
解析：由题意可得sin A＋cos B＝1，sin B＋cos A＝，将两式平方相加可得1＋＋sin Acos B＋sin Bcos A＝1＋，所以sin C＝sin(A＋B)＝，则C＝或.
若C＝，A＋B＝，则cos A>，
所以sin B＋cos A＝不成立，故C＝.
答案：
[方法技巧]
“给值求角”的解题策略
(1)求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围；
(3)根据角的范围写出要求的角．　　


三角恒等变换与向量的综合应用
[典例]　已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈且cos＝，求f(α)．
[思路点拨]　(1)先化简函数f(x)，再利用三角函数的单调性求解即可；(2)利用二倍角公式化简求解即可．
[解]　(1)f(x)＝sin xcos＋1
＝sin xcos x－sin2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin＋，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)f(α)＝sin＋
＝sincos＋，
∵cos＝且α∈，∴sin＝，
∴f(α)＝＋.
[方法技巧]
向量与三角函数综合问题的特点与解题思路
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)对于三角函数求最值问题，一般有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c的形式．　　　　
[即时演练]
1．(湖南联考)设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．0
解析：选B　由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，
∴tan α＝2，tan＝＝.
2．已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量．
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值．
解：(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，即2－2sin2A＝sin2A－cos2A，化简得sin2A＝.
又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.
(2)y＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos
＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B
＝sin 2B－cos 2B＋1
＝sin＋1.
因为△ABC为锐角三角形且A＝，所以B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝，即B＝时，函数y取得最大值2.

1．(全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.
2．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解：选B　∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝1时，
f(x)取得最大值5.
3．(全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－.
4．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－　　　　　　　　　B.
C．－ D.
解析：选D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.
5．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B　由条件得＝，
即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，
sin(α－β)＝cos α＝sin，
因为－<α－β<，0<－α<，
所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
6．(2013·全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　法一：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
法二：cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)
＝(1－sin 2α)＝.
7．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
8．(全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.
解析：∵α∈，tan α＝2，
∴sin α＝，cos α＝，
∴cos＝cos αcos＋sin αsin
＝×＝.
答案：
9．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，
因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.
答案：1

一、选择题
1．(全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选D　∵cos 2θ＝＝，
又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.
2．已知tan＝，且－＜α＜0，则等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选A　由tan＝＝，
得tan α＝－.
又－<α<0，
所以sin α＝－.
故＝
＝2sin α＝－.
3．(温州测试)已知sin x＋cos x＝，则cos＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　∵sin x＋cos x＝2
＝2＝2cos＝，
∴cos＝.
4．(东北三省模拟)已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)
A．1 B．－1
C. D．0
解析：选D　∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝－cos α，
∴tan α＝＝－1，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.
5．(南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝，则tan ＝(　　)
A. B.
C．7 D.
解析：选D　法一：因为θ∈[0，π]，所以∈，
所以cos ＝ ＝，
所以sin ＝，所以tan ＝.
法二：由题意得sin θ＝，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π]，所以∈，所以由tan θ＝＝，解得tan ＝或tan ＝－(舍去)，故选D.
6．(吉林大学附中检测)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选D　∵3cos 2α＝sin，
∴3(cos2 α－sin2 α)＝(cos α－sin α)，
易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝，
两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－.
7．已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A　因为sin＋sin α＝cos α＋sin α＝sin＝，
所以sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
8．(长沙模拟)在△ABC中，若(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1，则sin 2A＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　由两角和的正切公式知tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan B·tan C)，所以(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1＝tan(B＋C)(1－tan B·tan C)，所以tan(B＋C)＝－，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin 2A＝，故选D.
二、填空题
9．化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝＝＝＝1.
答案：1
10．(北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，
所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，
所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α
＝－(1－2sin2α)＝－＝－.
答案：－
11．(东北三省四市联考)已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
即tan x＝－2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
12．(珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝，tan β＝，则tan的值为________．
解析：∵tan(α＋β)＝，tan β＝，
∴tan α＝tan[(α＋β)－β]
＝
＝＝，
∴tan＝＝＝.
答案：
三、解答题
13．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
故当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值1，故当f(x)取得最大值1时，x的取值集合为.
(2)由(1)可知f(x)的图象关于直线x＝对称，且f＝1，
∴x1＋x2＝，即x1＝－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos＝cos＝sin＝f(x2)＝.
14．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.

1．已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪
解析：选D　f(x)＝sin2＋sin ωx－＝sin ωx－cos ωx＝sin，因为π0，所以0<ω≤或≤ω≤.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当x∈时，求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，求函数g(x)的值域．
解：(1)由题意得，f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，
因为相邻两对称轴间的距离为，所以T＝＝π，ω＝2.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以φ－＝kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z.
因为0<φ<π，所以φ＝，
故函数f(x)＝2sin 2x.
令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝－1，得－≤x≤－，因为x∈，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)由题意可得，g(x)＝2sin，
因为x∈，所以－≤4x－≤，
所以－1≤sin≤，g(x)∈[－2，]，
即函数g(x)的值域为[－2，]．