数学北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用巩固练习

这是一份数学北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四章　2.3A　组·素养自测一、选择题1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝(　D　)A．－ B．C．－ D．[解析]　sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.2．计算：cos＋sin＝(　B　)A． B．2C．2 D．[解析]　cos＋sin＝2＝2sin＝2sin＝2.3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　B　)A．[－2,2] B．[－，]C．[－1,1] D．[解析]　f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝＝sin∈[－，]．4．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ 等于(　B　)A． B．－C． D．－[解析]　f(x)＝5cos x＋12sin x＝13＝13sin(x＋α)，其中sin α＝，cos α＝.由题意知θ＋α＝2kπ－，(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α，(k∈Z)，所以cos θ＝cos＝cos＝－sin α＝－.5．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的零点之和是(　B　)A．－ B．－C． D．[解析]　由题意得f(x)＝2sin，令f(x)＝0，解得2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，所以f(x)的零点为x＝＋(k∈Z)．又x∈，令k＝－1，则x＝－，令k＝0，则x＝，所以f(x)在区间上的零点之和为－＋＝－.故选B．6．函数f(x)＝cos x＋cos的一个单调递增区间为(　A　)A． B．C． D．[解析]　由题可知f(x)＝cos x＋cos＝sin x＋cos x＝sin.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，可得－≤x≤，即函数的一个单调递增区间为，故选A．二、填空题7．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为  .[解析]　f(x)＝sin(x＋φ)＝sin(x＋φ)≤.8．化简：＝ 1 .[解析]　原式＝＝＝＝1．9．已知cos＋sin α＝，则cos的值是  .[解析]　cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.三、解答题10．已知函数f(x)＝1－cos－cos 2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值与最小值．[解析]　(1)f(x)＝1－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，∴f(x)max＝3，f(x)min＝1－.B　组·素养提升一、选择题1．已知向量＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则的模的取值范围是(　D　)A．[1,3] B．[1,3]C．[，3] D．[，3][解析]　＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以||＝＝，所以≤||≤3，所以||∈[，3]．故选D．2．函数y＝cos x－sin x具有性质(　C　)A．最大值为，图象关于直线x＝对称B．最大值为1，图象关于直线x＝对称C．最大值为，图象关于对称D．最大值为1，图象关于对称[解析]　y＝＝－＝cos，其最大值为，排除B，D；由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝kπ－(k∈Z)为此函数的对称轴方程，不包含直线x＝，排除A．故选C．3．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　A　)A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5C．3<m<5 D．－3≤m≤3[解析]　∵sin x＋cos x＝cos xcos＋sin xsin＝cos(x－)＝4－m，∴cos(x－)＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.4．(多选)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的可能值为(　AB　)A． B．C． D．π[解析]　f(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆，∴0<a≤，故选A，B．二、填空题5．已知△ABC中，∠A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为 1 .[解析]　由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)．显然当∠B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1．6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为 2 .[解析]　f(x)＝cos x＋sin x＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取最大值为2.三、解答题7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.(1)求f的值；(2)若α，β∈，f＝，f＝－，求cos(α＋β)的值．[解析]　(1)因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx，所以f(x)＝sin.因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f(x)＝sin.所以f＝sin＝sincos－cossin＝.(2)由(1)得f＝sin α＝，f＝sin(β＋π)＝－sin β＝－，所以sin β＝.因为α，β∈，所以cos α＝＝，cos β＝＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.8．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．[解析]　(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝＝sin.又f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为x∈，所以x－∈，当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.