2022新教材高中数学第5章复数3复数的三角表示素养作业北师大版必修第二册

第五章　3

A　组·素养自测

一、选择题

1．设复数z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是(　D　)

A．r>0，θ∈[0,2π) B．r≥0，θ∈(0,2π)

C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0,2π)

[解析]　由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤θ<2π.故选D．

2．复数－2辐角的主值是(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　解法1：∵－2

＝2，

∴辐角的主值为，故选C．

解法2：复数对应点在第三象限，

∴辐角主值是第三象限角．

3．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为(　D　)

A．2＋cos＋isin B．2

C．2 D．2

[解析]　因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，

从而可知2i＝2.

4．复数－i的辐角主值为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵－i＝2

＝2，

又∵∈[0,2π)，故－i辐角的主值为.

5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　B　)

A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°

C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°

[解析]　令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°，故选B．

6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是(　C　)

A．1 B．3

C．5 D．7

[解析]　因为z＝sin－icos＝cos－isin＝cos＋isin，

则＝cos＋isin，

所以＝cos＋isin＝zn＝cos＋isin，

由此得＝2kπ－(k∈Z)．

所以n＝6k－1，k∈Z，n∈N，故n的最小值为5.

二、填空题

7．设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为 2 .

[解析]　根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(－i)＝2.

8．计算下列式子，写出其结果的代数形式：

5·2＝ ＋i .

[解析]　5·2＝10＝10＝

＋i.

9．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ ＋i .

[解析]　(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.

三、解答题

10．把下列复数表示成三角形式．

(1)5；

(2)i；

(3)＋i；

(4)－1－i；

(5)3－3i；

(6)－4＋3i.

[解析]　(1)5＝5(cos 0＋isin 0)．

(2)i＝cos＋isin.

(3)＋i＝cos＋isin.

(4)－1－i＝2＝2.

(5)3－3i＝6＝6.

(6)－4＋3i＝5＝5(cos θ＋isin θ).

B　组·素养提升

一、选择题

1．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是(　AD　)

A．z＝2

B．z＝2

C．z＝2

D．z＝2

[解析]　z＝3＋i

＝2

＝2

＝2，

故选AD．

2．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则

tan(α＋β)等于(　D　)

A． B．－

C．－1 D．1

[解析]　因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1．

3．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是(　B　)

A．负实数

B．纯虚数

C．正实数

D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)

[解析]　设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，

z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，由于⊥，

所以＝

＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]

＝[cos(±90°)＋isin(±90°)]

＝±i，即为纯虚数．故选B．

4．设π<θ<，则复数的辐角主值为(　B　)

A．2π－3θ B．3θ－2π

C．3θ D．3θ－π

[解析]　＝

＝cos 3θ＋isin 3θ.

∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，则辐角主值为3θ－2π.故选B．

二、填空题

5．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为，则实数a＝ －1 .

[解析]　由于复数z的辐角主值为，故z＝

r＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1．

6.＝ 2－2i .

[解析]　＝

＝4＝4＝2－2i.

三、解答题

7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3.

[解析]　设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，z3＝cos γ＋isin γ，则由z2＋iz3－i＝0，

可得

利用cos2β＋sin2β＝1，解得

所以，z3＝.

当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；

当z3＝时，

z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1．

8．计算的值．

[解析]　

＝

＝

＝＝2

＝1＋i.