北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质第2课时巩固练习

第三章　§3　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是(　C　)

A．(0，＋∞)　 B．(0，9)

C．　 D．

[解析]　因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2．而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为，故选C．

2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　D　)

A．a＞1，b＞0　 B．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0　 D．0＜a＜1，b＜0

[解析]　从图象的变化趋势可知，0＜a＜1，从曲线位置看，是由函数y＝ax的图象向左平移|b|个单位，

∴－b＞0，即b＜0，故选D．

3．，34，的大小关系为(　A　)

A．＜＜34　 B．＜34＜

C．＜＜34　 D．＜34＜

[解析]　由34＝，又y＝为R上的减函数，

所以＜＜．故选A．

4．函数f(x)＝是(　B　)

A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数

C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数

[解析]　因为f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，

故f(x)＝为增函数．故选B．

5．若＜，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(1，＋∞)　 B．(，＋∞)

C．(－∞，1)　 D．(－∞，)

[解析]　由题意，得2a＋1＞3－2a，

∴4a＞2，∴a＞，故选B．

6．函数y＝的单调增区间为(　A　)

A．(－∞，＋∞)　 B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)　 D．(0，1)

[解析]　设t＝1－x，则y＝，函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝的递增区间，故选A．

二、填空题

7．若函数f(x)的定义域是，则函数f(2x)的定义域是__(－1，0)__．

[解析]　由＜2x＜1得－1＜x＜0．

8．在函数y＝ax(a＞0且a≠1)中，若x∈[1，2]时最大值比最小值大，则a的值为__或__．

[解析]　当a＞1时，有a2－a＝，∴a2－a＝0，∴a＝．

当0＜a＜1时，有a－a2＝，∴a2－＝0，

∴a＝．综上，a的值为或．

三、解答题

9．关于x的方程＝有正实数根，则a的取值范围为____．

[解析]　＝有正数根，即x＞0时方程有解，

那么0＜＜1，

因而有得－＜a＜，

即a∈．

10．已知函数y＝．

(1)求此函数的定义域，值域；

(2)确定函数的单调区间．

[解析]　(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域都是R，故函数y＝的定义域为R．因为u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又函数y＝在R上单调递减，所以≤，又＞0，故函数的值域为．

(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，有u1＜u2，从而＞，即y1＞y2，所以函数y＝在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)其中(a＞b)，若f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为(　A　)

[解析]　由二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a、b；

根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；

观察f(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0，1)上，

又由a＞b，可得b＜－1，0＜a＜1；

在函数g(x)＝ax＋b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，

又由b＜－1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．

2．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　AD　)

A．f(－2)＞f(－1)　 B．f(－1)＞f(－2)

C．f(1)＞f(2)　 D．f(－4)＞f(3)

[解析]　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(2)＞f(1)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以AD正确．

3．(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　ABD　)

A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)＜f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x)

[解析]　A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；

B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；

C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；

D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)．

4．函数y＝的值域为(　A　)

A．　 B．

C．　 D．(0，2]

[解析]　令t(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为y＝单调递减，所以≤，即y≥．

二、填空题

5．函数f(x)＝－的单调减区间是__(－∞，－1)__．

[解析]　因为f(x)＝－＝所以函数的单调减区间为(－∞，－1)．

6．若不等式＞4－2a成立，则实数a的取值范围为__{a|－2＜a＜4}__．

[解析]　因为指数函数f(x)＝为单调递减函数，且＞4－2a，即＞，所以a2－8＜2a，即a2－2a－8＜0，解得－2＜a＜4，

故实数a的取值范围是{a|－2＜a＜4}．

7．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为____．

[解析]　设t＝，当x≥0时，2x≥1，所以0＜t≤1，y＝－t2＋t＝－＋，

所以0≤y≤，故当x≥0时，f(x)∈．

因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

所以当x＜0时，f(x)∈，故函数f(x)的值域是．

三、解答题

8．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．

[解析]　函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1，1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3．若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝．综上所述，a＝3或．

9．已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若存在x∈[－2，2]使不等式f(m·4x)＋f(1－2x＋1)≥0成立，求m的最小值．

[解析]　(1)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴a＝－1，

又f(－x)＝－f(x)，∴＝－，

即＝－，∴b＝1，∴f(x)＝．

(2)∵f(x)＝＝1－，

∴f(x)在[－2，2]上单调递增．

由f(m·4x)≥－f(1－2x＋1)＝f(2x＋1－1)在[－2，2]上成立，可得m·4x≥2x＋1－1在[－2，2]上有解，分离参数得m≥＝2·－有解，

设t＝，t∈，则m≥－t2＋2t＝－(t－1)2＋1有解，∴m≥－8，故m的最小值为－8．