鲁科版高考物理一轮总复习第4章第1讲功与功率课时学案

第1讲　功与功率

一、功

1．做功的两个要素：力和物体在力的方向上发生的位移。

2．公式：W＝Fscos α，适用于恒力做功的计算，α表示力的方向和位移的方向间的夹角。

3．功是标量：只有大小，没有方向，但有正负。

4．功的正负的判断

5．合力做的功

方法一：先求合力F合，由W合＝F合scos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再由W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

二、功率

1．定义：功与完成这些功所用时间之比叫作功率。功率是表示做功快慢的物理量，是标量。

2．公式：(1)P＝，定义式求的是平均功率。

(2)P＝Fvcos α，α为F与v的夹角。若v是平均速度，则P为平均功率；若v是瞬时速度，则P为瞬时功率。

3．单位：瓦特(W)。1 W＝1 J/s,1 kW＝1 000 W。

4．两种功率

(1)额定功率：表示机器长时间正常工作时最大的输出功率。

(2)实际功率：表示机器实际工作时的输出功率。

考点1　功的分析与计算(能力考点)

考向1　恒力做功的分析与计算

典例　一滑块在光滑水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第 2 s 内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是(　　)

A．W1＝W2＝W3 B．W1<W2<W3

C．W1<W3<W2 D．W1＝W2<W3

【自主解答】

B　解析：在第1 s内，滑块的位移为s1＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W1＝F1s1＝1×0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移为s2＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W2＝F2s2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移为s3＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W3＝F3s3＝2×1 J＝2 J，所以 W1<W2<W3，故选B。

【技法总结】

1．功的正负的判断方法

(1)恒力做功正负的判断：根据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功正负的判断：根据F与v方向间的夹角α来判断。0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

2．功的计算步骤

考向2　变力做功的分析与计算

典例　如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：

(1)拉力F做的功；

(2)桥面对物块的摩擦力做的功。

【自主解答】

解析：(1)将圆弧 分成很多小段s1、s2、…、sn，拉力在每一小段上做的功分别为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以

W1＝Fs1cos 37°，W2＝Fs2cos 37°，…，Wn＝Fsncos 37°

所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn

＝Fcos 37°(s1＋s2＋…＋sn)

＝Fcos 37°··2πR

＝376.8 J。

(2)重力G做的功

WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J

因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0

所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。

答案：(1)376.8 J　(2)－136.8 J

【技法总结】

变力做功的几种常用分析方法及例证

1．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，此过程中，各力对小球做的总功为(　　)

A．FLsin θ

B．mgL(1－cos θ)

C．FLsin θ－mgL(1－cos θ)

D．FLsin θ－mgLcos θ

C　解析：如图所示，小球在恒力F方向上的位移为CB，方向与F同向，

则WF＝F·CB＝FLsin θ，小球在重力方向上的位移为AC，方向与重力反向，则WG＝mg·AC·cos 180°＝－mg·L(1－cos θ)，轻绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WT＝0，故W总＝WF＋WG＋WT＝FLsin θ－mgL(1－cos θ)，所以选项C正确。

2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(　　)

A．(－1)d B．(－1)d

C． D．d

B 　解析：铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，根据题意可得W＝1d＝d，W＝2d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d。故选B。

考点2　功率的分析与计算(能力考点)

典例　(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A．3t0时刻的瞬时功率为

B．3t0时刻的瞬时功率为

C．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为

D．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为

【自主解答】

BD　解析：根据F­t图像，物体在0～2t0时间内的加速度a1＝，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝t0，0～2t0时间内的位移s1＝·2t0＝t，故0～2t0时间内水平力做的功W1＝F0s1＝t；物体在2t0～3t0时间内的加速度 a2＝，3t0时刻的速度 v2＝v1＋a2t0＝t0，故3t0时刻的瞬时功率P2＝3F0v2＝，在2t0～3t0时间内的位移s2＝·t0＝，故2t0～3t0时间内水平力做的功W2＝3F0·s2＝，因此在0～3t0时间内的平均功率P＝＝，故B、D正确。

【核心归纳】

求解功率时应注意的三个问题

(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。

(2)平均功率与一段时间对应，计算时要明确是哪个力在哪段时间内的平均功率。

(3)瞬时功率要明确是哪个力在哪个时刻的功率。

1．运动员做引体向上，从如图所示的状态开始，双手握杠上拉，使下颌超过横杠上沿，然后还原到初始状态，为完成一次动作。若运动员完成一次动作所经历的时间为t，重心上升高度为h，质量为m，重力加速度为g，则在此过程中(　　)

A．单杠对运动员做的功为mgh

B．单杠对运动员做的功大于mgh

C．运动员克服重力做功的平均功率为

D．运动员克服重力做功的平均功率大于

C　解析：运动员完成一次动作需要克服重力做功mgh，运动员完成一次动作所经历的时间为t，运动员克服重力做功的平均功率为 ，选项C正确。

2．质量为1 kg的物体静止于光滑水平面上，从t＝0时刻起，物体受到向右的水平拉力F的作用，第1 s内F＝2 N，第2 s内F＝1 N。下列判断正确的是(　　)

A．2 s末物体的速度为4 m/s

B．2 s内物体的位移为3 m

C．第1 s末拉力的瞬时功率最大

D．第2 s末拉力的瞬时功率最大

C　解析：由牛顿第二定律知，第1 s内物体的加速度大小为2 m/s2，第2 s内物体的加速度大小为 1 m/s2，则第1 s末物体的速度大小为v1＝a1t1＝2 m/s，第 2 s末物体的速度大小为v2＝v1＋a2t2＝3 m/s，A项错误；2 s内物体的位移为l＝a1t＋＝3.5 m，B项错误；第1 s末拉力的瞬时功率为P1＝F1v1＝4 W，第2 s末拉力的瞬时功率为P2＝F2v2＝3 W，C项正确，D项错误。

3．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平。若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵的输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为(　　)

A．5×106 N B．2×107 N

C．2×109 N D．5×109 N

A　解析：由排泥量和排泥管的横截面积可求得排泥的速度v＝＝2 m/s。由P＝Fv，可得 F＝＝＝5×106 N。故A正确。

考点3　机车启动问题(能力考点)

典例　(2021·六安模拟)超级电容车在运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30 s～1 min，就能行驶3～5 km。假设有一辆超级电容车，质量 m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力f是车重的 ，g取 10 m/s2。

(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？

(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移大小。

【自主解答】

解析：(1)当超级电容车的速度达到最大时，超级电容车的牵引力与所受阻力平衡，即F＝f

f＝kmg＝2 000 N

P＝fvm

解得vm＝＝30 m/s。

(2)超级电容车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 F1－f＝ma

解得F1＝3 000 N

设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则

P＝F1v1

v1＝＝20 m/s

设超级电容车做匀加速直线运动的时间为t，则 v1＝at

解得t＝＝40 s。

(3)超级电容车从静止到达到最大速度的整个过程中，只有牵引力与阻力做功，由动能定理得

Pt2－fs＝mv

解得s＝1 050 m。

答案：(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m

【核心归纳】

机车启动问题的几点注意

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中的Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)。

(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理有Pt－fs＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。

1．某质量为m的电动玩具小车在平直的水泥路上由静止沿直线加速行驶。经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vm，设这一过程中电动机的功率恒为P，小车受到的阻力恒为f，则t时间内(　　)

A．小车做匀加速运动

B．小车受到的牵引力逐渐增大

C．合外力对小车所做的功为Pt

D．牵引力对小车所做的功为fs＋mv

D　解析：电动机的功率恒定，则P＝F牵v，结合牛顿第二定律F牵－f＝ma可知，当速度增大时，牵引力减小，加速度减小，故小车做加速度减小的变加速运动，故A、B错误；整个过程中，牵引力做正功，阻力做负功，故合外力做的功为W＝mv，Pt为牵引力所做的功，故C错误；整个过程中，根据动能定理可知 Pt－fs＝mv，解得Pt＝fs＋mv，故D正确。

2．当前我国“高铁”事业发展迅猛，假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力的作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v ­t图像如图所示，已知0～t1时间内图线为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动。下列判断正确的是(　　)

A．从0～t3时间内，列车一直做匀加速直线运动

B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度

C．在t3时刻以后，机车的牵引力为0

D．该列车所受的恒定阻力大小为

D　解析：由题图可知，0～t1时间内，列车做匀加速运动，t1～t3时间内，加速度逐渐变小，故A、B错误；t3时刻以后列车做匀速运动，牵引力大小等于阻力大小，故C错误；匀速运动时f＝F牵＝，故D正确。

3．(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速的倒数  的关系图像如图所示。已知行驶过程中的最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则(　　)

A．汽车所受阻力为6×103 N

B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2

C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2

D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W

CD　解析：当汽车的牵引力大小等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小f＝2 000 N，故A错误；车速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；题图中倾斜图线的斜率表示汽车的额定功率，可知P＝fv＝2 000×30 W＝6×104 W，当车速为15 m/s时，牵引力F＝＝ N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；汽车的最大功率等于额定功率，等于6×104 W，故D正确。