吉林省长春市第一零四中学校2022-2023学年九年级上学期第一次质量监测数学试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市第一零四中学校2022-2023学年九年级上学期第一次质量监测数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）化简：得（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝4的一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．1，4
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
5．（3分）若，则等于（　　）
A． B． C． D．3
6．（3分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（　　）

A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
7．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
8．（3分）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　）

A．5 B．7.5 C．9 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）化简的结果是　 　．
11．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是 　 　．
12．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中有△OAB，点A、B的坐标分别为（1，2）、（3，1），以原点O为位似中心将△OAB进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为（2，4），则点B的对应点坐标为 　 　．

13．（3分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，S△ABP＝9，S△CDP＝25，若AP＝6，则PD的长是 　 　．

14．（3分）如图，点E为矩形ABCD的AB边上一点，以EC为折痕将△BEC向上折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AE＝3，EB＝5，则BC的长是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：+．

17．（6分）解方程：x2+8x﹣2＝0．
18．（9分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似．
（2）在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）．
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使＝．

19．（6分）如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝16，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．

20．（7分）如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB＝4，AD＝6．求点A到直线DE的距离．

21．（7分）求证：对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2kx+2k2﹣2k+3＝0没有实数根．
22．（7分）近年来网上购物交易额呈逐渐增加趋势．据报道，某网上商城2013年的交易额是25亿元，2015年达到了49亿元．这两年的交易额平均年增长的百分率是多少？若该网上商城2016年的交易额以这个百分率增长，预计到2016年底交易额将达到多少亿元？
23．（12分）[教材呈现]
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

[结论应用]
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝130°，则∠F的大小为
　 　
．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm．动点P从点A出发，沿AB方向以3cm/s的速度向点B匀速运动；过点P作PD⊥AB，交AC或BC于点D，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求BC的长．
（2）用t的代数式表示PD的长．
（3）PD所在直线将△ABC分成两部分，当其中一部分图形是轴对称图形时，求t的值．
（4）线段PD的中点E到三角形两边的距离相等时，直接写出t的值．


2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）第一次质检数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）化简：得（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】根据二次根式的性质 化简．
【解答】解：∵＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝4的一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．1，4
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x＝4的一般形式是：x2﹣3x﹣4＝0，
则一次项系数和常数项分别是﹣3，﹣4．
故选：A．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：B．
5．（3分）若，则等于（　　）
A． B． C． D．3
【分析】设a＝3k，b＝2k，代入化简求值即可．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设a＝3k，b＝2k，
∴＝＝3，
故选：D．
6．（3分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（　　）

A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：∵＝
即＝，
∴AC＝6×1.5＝9米．
故选：D．
7．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB+BC＝4+8＝12，
故选：D．
8．（3分）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　）

A．5 B．7.5 C．9 D．10
【分析】根据三角形重心的性质求解即可．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG＝2GE，
∵BE＝BG+GE＝15，
∴BG＝10，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣3　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+3≥0，
解得，x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
10．（3分）化简的结果是　　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
11．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是 　有两个不相等实数根　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而即可得出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等实数根．
【解答】解：∵ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它有两个不相等实数根．
故答案为：有两个不相等实数根．
12．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中有△OAB，点A、B的坐标分别为（1，2）、（3，1），以原点O为位似中心将△OAB进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为（2，4），则点B的对应点坐标为 　（6，2）　．

【分析】根据点A的坐标、放缩后点A的对应点坐标求出位似比，计算即可．
【解答】解：∵将△OAB进行放缩，点A的坐标为（1，2），放缩后点A的对应点坐标为（2，4），
∴将△OAB在第一象限放大2倍，
∵点B的坐标为（3，1），
∴点B的对应点坐标为（6，2），
故答案为：（6，2）．
13．（3分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，S△ABP＝9，S△CDP＝25，若AP＝6，则PD的长是 　10　．

【分析】证明△APB∽△DPC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△APB∽△DPC，
∴＝（）2，即（）2＝，
解得：PD＝10，
故答案为：10．
14．（3分）如图，点E为矩形ABCD的AB边上一点，以EC为折痕将△BEC向上折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AE＝3，EB＝5，则BC的长是 　10　．

【分析】由矩形的性质得出AD＝BC，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°．由折叠的性质得出CF＝BC，EF＝BE＝5，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出AF的长度，进而表示出DF，然后在Rt△DFC中，根据勾股定理列出关于BC的方程即可解决问题．
【解答】解：∵AE＝3，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝AB＝8，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴CF＝BC，EF＝BE＝5，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝BC﹣4，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
CF2＝DC2+DF2，
∴BC2＝82+（BC﹣4）2，
解得：BC＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
【分析】首先将各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的加减运算法则求解，即可求得答案．
【解答】解：原式＝2+2+3＝2+5．
16．（6分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：+．

【分析】首先得出a+2，b﹣2的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：利用数轴可得：a+2＞0，b﹣2＜0，
故原式＝a+2+b﹣2＝a﹣b+4．
17．（6分）解方程：x2+8x﹣2＝0．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+8x﹣2＝0，
x2+8x＝2，
x2+8x+16＝2+16，
（x+4）2＝18，
x+4＝±3，
x+4＝3或x+4＝﹣3，
x1＝3﹣4，x2＝﹣3﹣4．
18．（9分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似．
（2）在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）．
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使＝．

【分析】（1）取格点E，连接DE，则DE∥BC，由相似三角形的判定方法可知△ADE∽△ABC．
（2）取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，使DE＝，DF＝4，EF＝即可．
（3）取格点M，N，连接MN，交AB于点P，此时△AMP∽△BNP，由，可得．
【解答】解：（1）如图①，△ADE即为所求．
（2）如图②，△DEF即为所求．
（3）如图③，点P即为所求．

19．（6分）如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝16，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．

【分析】证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，
∴△ABC面积是△ADE面积的4倍，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝4，
∴＝2，
∵BC＝16，
∴DE＝8．
20．（7分）如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB＝4，AD＝6．求点A到直线DE的距离．

【分析】首先利用勾股定理得DE＝5，再利用△ADF∽△DEC，得，代入计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴CE＝3，
由勾股定理得，DE＝5，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠DFA＝∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴AF＝，
即点A到直线DE的距离为．
21．（7分）求证：对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2kx+2k2﹣2k+3＝0没有实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＜0，进而即可得出：对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2kx+2k2﹣2k+3＝0没有实数根．
【解答】证明：Δ＝（﹣2k）2﹣4（2k2﹣2k+3）＝﹣4k2+8k﹣12＝﹣4（k﹣1）2﹣8．
∵﹣4（k﹣1）2≤0，
∴﹣4（k﹣1）2﹣8＜0，即Δ＞0，
∴对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2kx+2k2﹣2k+3＝0没有实数根．
22．（7分）近年来网上购物交易额呈逐渐增加趋势．据报道，某网上商城2013年的交易额是25亿元，2015年达到了49亿元．这两年的交易额平均年增长的百分率是多少？若该网上商城2016年的交易额以这个百分率增长，预计到2016年底交易额将达到多少亿元？
【分析】首先设这两年的交易额平均年增长的百分率是x，提高后的交易额＝提高前的交易额（1+增长率），则2014年的常量是25（1+x），2015年的产量是25（1+x）2，即可列方程求得增长率．
【解答】解：设这两年的交易额平均年增长的百分率是x，
由题意得：25（1+x）2＝49，
解得：x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），
49（1+40%）＝68.6（亿元）
答：2016年底将达到68.6亿元．
23．（12分）[教材呈现]
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

[结论应用]
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝130°，则∠F的大小为
　25°　
．
【分析】（1）由三角形中位线定理，可证明；
（2）由三角形内角和定理和（1）的结论，可求解．
【解答】证明：∵P，M，N分别是BD，DC，AB中点，
∴PM＝BC，PN＝AD，
∵BC＝AD，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM．
（1）证明：∵P，M，N分别是BD，DC，AB中点，
∴PM∥BC，PN∥AD，
∴∠F＝∠PMN，∠AEN＝∠PNM，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F．
（2）解：∵∠A+∠ANE+∠AEN＝180°，
∠NBF+∠BNF+∠F＝180°，
∴∠A+∠NBF+∠ANE+∠BNF+∠AEN+∠F＝360°，
∴130°+180°+2∠F＝360°，
∴∠F＝25°．
故答案为：25°．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm．动点P从点A出发，沿AB方向以3cm/s的速度向点B匀速运动；过点P作PD⊥AB，交AC或BC于点D，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求BC的长．
（2）用t的代数式表示PD的长．
（3）PD所在直线将△ABC分成两部分，当其中一部分图形是轴对称图形时，求t的值．
（4）线段PD的中点E到三角形两边的距离相等时，直接写出t的值．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情形：如图1中，当点D在线段AC上时，如图2中，当点P在BC上，分别求解即可；
（3）分两种情形：如图3中，当四边形PBCD是轴对称图形时，如图4中，当四边形APDC是轴对称图形时，分别构建方程求解即可；
（4）分三种情形，分别作出图形，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm．
∴BC＝＝＝4（cm）；

（2）如图1中，当点D在线段AC上时，

∵PA＝3tcm，
∴AD＝＝5t（cm），PD﹣PA•tanA＝4t（cm），
当D与C重合时，5t＝3，
∴t＝，
∴当0＜t≤时，PD＝4t（cm）．
如图2中，当点P在BC上，即＜t＜时，PD＝PB•tanB＝（5﹣3t）×＝﹣t．

综上所述，PD＝；

（3）如图3中，当四边形PBCD是轴对称图形时，PD＝CD＝4t，则有5t+4t＝3，
解得t＝．

如图4中，当四边形APDC是轴对称图形时，AP＝AC，
∴3t＝3，
∴t＝1．

综上所述，满足条件的t的值为或1；

（4）如图5中，当点E落在∠ABC的角平分线BH上时，点E到AB，BC两边的距离相等．

∵HT⊥AB，HC⊥BC，BH平分∠ABC，
∴∠HBC＝∠HBT，∠BCH＝∠BTH＝90°，
∵BH＝BH，
∴△HBC≌△HBT（AAS），
∴BT＝BC＝4cm，HT＝HC，
设HT＝HC＝xcm，则有x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠HBT＝＝，
∴＝，
∴t＝．

如图6中，当点E在∠BAC的角平分线上时，过点H作HT⊥AB于点T．

同法可证△AHC≌△AHT（AAS），
∴AT＝AC＝3，HT＝HC，
设HC＝HT＝ycm，则有y2+22＝（4﹣y）2，
∴y＝，
∵tan∠HAT＝＝，
∴＝，
∴t＝．

如图7中，当点E在∠ACB的角平分线上时，过点E作EH⊥AC于点H，过点E作ET⊥BC于点T．则ET＝EH．

∵PE＝DE＝﹣t，
∴ET＝DE•sin∠BDP＝（﹣t）×＝﹣t，
∵S△ABC＝×3×4＝×4×（﹣t）+×3×（﹣t）+×5×（﹣t），
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值或或．