2022-2023 人教版 数学 七年级上册 阶段专项提分练十 角 的 计 算 同步练习

阶段专项提分练十  角 的 计 算

类型1　直接计算

【典例1】如图，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，OE，OF分别为∠AOB和∠COD的平分线，如果∠AOD＝130°，

(1)求∠BOC的度数；

(2)求∠EOF的度数．

解析：(1)因为∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，

所以∠AOB＋∠BOC＝90°，∠COD＋∠BOC＝90°，

所以(∠AOB＋∠BOC)＋(∠COD＋∠BOC)＝180°，

所以∠BOC＝180°－∠AOD＝180°－130°＝50°.

(2)因为∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∠BOC＝50°，

所以∠AOB＝90°－50°＝40°，∠COD＝90°－50°＝40°，

因为OE，OF分别是∠AOB，∠COD的平分线，

所以∠AOE＝∠AOB＝×40°＝20°，∠DOF＝∠COD＝×40°＝20°，

所以∠EOF＝∠AOD－∠AOE－∠DOF＝130°－20°－20°＝90°.

类型2　方程计算

【典例2】如图，已知O为直线MN上的一点，且∠AOB为直角，OC平分∠MOB.若OD平分∠CON，且∠DON－∠AOM＝21°，求∠BON的度数．

解析：设∠BOC＝∠MOC＝x°，

因为∠AOB为直角，所以∠AOM＝90°－(2x)°，

因为∠DON－∠AOM＝21°，所以∠DON＝∠AOM＋21°＝111°－(2x)°.

因为OD平分∠CON，所以∠CON＝222°－(4x)°，

因为∠CON＋∠MOC＝180°，

所以222°－(4x)°＋x°＝180°，所以x°＝14°，

所以∠BON＝180°－∠BOM＝180°－28°＝152°.

类型3　分类讨论

【典例3】 如图，已知射线OB平分∠AOC，∠AOC的余角比∠BOC小42°.

(1)求∠AOB的度数；

(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数；

(3)在(2)的条件下，画∠AOD的平分线OE，则∠BOE＝__33°或55°__．

解析：(1)由射线OB平分∠AOC可得∠AOC＝2∠BOC，

设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，

依题意列方程90°－2x＝x－42°，解得x＝44°，即∠AOB＝44°.

(2)由(1)得，∠AOC＝88°，

①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝22°，

则∠COD＝∠AOC－∠AOD＝66°；

②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝22°，

则∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝110°.

(3)因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝11°，

当射线OD在∠AOC内部时，∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝44°－11°＝33°；

当射线OD在∠AOC外部时，∠BOE＝∠AOB＋∠AOE＝44°＋11°＝55°.

所以∠BOE的度数为33°或55°.

类型4　与折叠有关的计算

【典例4】我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它解决下面的问题吗？

(1)如图1所示，将长方形纸片的一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．若∠ACA′＝50°，求∠A′BD的度数(小学学过三角形三个角的度数和是180度).

(2)在(1)的条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图2所示，求∠2和∠CBE的度数．

(3)如果改变图2中∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由．

解析：(1)因为∠ACA′＝50°，∠ACB＝∠A′CB＝∠ACA′＝25°，

所以∠A′BC＝∠ABC＝90°－25°＝65°，

所以∠A′BD＝180°－∠ABC－∠A′BC＝180°－65°－65°＝50°.

(2)由(1)的结论可得∠DBD′＝50°，

所以∠2＝∠DBD′＝×50°＝25°，

由折叠的性质可得，∠CBE＝∠A′BC＋∠D′BE＝×180°＝90°.

(3)不变，

理由如下：由折叠的性质可得，∠1＝∠ABC＝∠ABA′，

∠2＝∠EBD＝∠DBD′，

所以∠1＋∠2＝(∠ABA′＋∠DBD′)＝×180°＝90°，

所以∠CBE的大小不变，永远是平角的一半．