湖南省祁东县育贤中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022年下期育贤中学高三年级第一次月考数学科试题

                       命题人：      审题人：

一、单选题

1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知为正数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，则的最小值为（       ）

A．4 B．

C． D．

5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

6．如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（       ）

A．14 B．18 C．30 D．36

7．已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．设函数在R上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列说法是正确的是（　　）

A．命题“都有”的否定是“都有”

B．中，角成等差数列的充分条件是

C．设0<a<b<1，0<c<1，则ca<cb

D．若，则

10．以下函数在区间上为单调增函数的有（       ）

A． B．

C． D．

11．如图是函数的部分图像，则（       ）

A．的最小正周期为

B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数

C．是函数的一条对称轴

D．若函数在上有且仅有两个零点，则

12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（       ）．

A． B．

C． D．

三、填空题

13．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

14．已知是奇函数，且当时，若，则_______.

15．已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．

16．在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，， 成等差数列，那么__________．

四、解答题

17．已知函数的图象与轴的交点为，且曲线在点处的切线方程为．若函数在处取得极值，求的解析式．

18．已知函数.

(1)求的周期；

(2)将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.

19．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

20．首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，让考生熟悉考试、志愿填报和高校了解录取的流程及基本方法．在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，用样本估计总体，求该校学生联考数学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）该校准备给有机会冲击强基计划（联考数学成绩不低于130分）的学生进行培训，经调查，发现成绩在内的学生愿意参加培训的概率均为，成绩在内的学生愿意参加培训的概率均为．已知样本中成绩在与内的学生人数之比为2：1，若从样本中成绩不低于130分的学生中随机抽取2人，设愿意参加培训的人数为，求的分布列和期望．

21．已知数列的前项和为，，.

（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；

（2）令，若对恒成立，求的取值范围.

22．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；

（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．

参考答案：

1——8     D  B  A  C  B  B  A  D

9——12     AB   BD   AD  ABC

13. 240
14. 3
15. 1
16. 2550

17．

【解析】

由题意得，代入中，得．

因为，则，

所以，，解得，则，

此时，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数在处取得极值，合乎题意.

所以，.

18 解：(1)

，

所以的周期；

（2）将函数的图象向右平移个单位，可得，

再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以在上的值域为.

19．解（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..

由余弦定理得，

又，所以

（2） 是的角平分线，，

由可得

因为，，即有，，

故

20．解：（1）由频率分布直方图可得该校学生联考数学成绩的平均值为

20×（60×0.004+80×0.013+100×0.016+120×0.014+140×0.003）=99.6．

（2）依题意，样本中成绩在[130，150]内的人数为6，则成绩在内的人数为4，在[140，150]内的人数为2，

则的所有可能取值为0，1，2，

，

，

．

所以的分布列为

所以．

21解（1）当时，，又       

当且时，       

数列是以为首项，为公比的等比数列       

（2）由（1）知：       

当为奇数时，，即：恒成立

当为偶数时，，即：

综上所述，若对恒成立，则

22．解：（1）函数的定义域为，

，

令得，所以函数在上单调递增；

令得，所以函数在上单调递减.

（2）对给定的，当时，，

又因为函数在上单调递减，在上单调递增

所以函数在时取得最小值，

故函数要有零点，则需有，

即：，故，

所以对给定的，函数有零点，的取值范围为

（3）当，时，，

所以，

所以，

令，则在上成立，

所以在单调递增，

由于，，

所以存在，使得，即.

所以存在，使得在上满足，

在上满足

所以在上满足，在上满足，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

令，，

则在成立，

所以在单调递增，

由于，，

所以，

因为

所以.