高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课前预习ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课前预习ppt课件，共59页。PPT课件主要包含了自学导引，f′x0，单调递减，f′x＝0，课堂互动，答案1D，答案D，素养训练，答案C，答案A等内容，欢迎下载使用。

(1)在某个区间(a，b)上，如果___________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；(2)在某个区间(a，b)上，如果____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上___________；(3)在某个区间(a，b)上，如果恒有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
函数的单调性与其导函数的关系
【预习自测】1．(2022年常州期末)函数f(x)＝xex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)【答案】D【解析】由函数f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，因为ex＞0，由f′(x)＝ex(x＋1)＞0，得x＞－1.所以函数f(x)＝xex的单调递增区间是(－1，＋∞)．故选D．
2．(2021年内江期末)如图所示为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，－1)B．(－2，0)C．(－2，0)，(2，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)【答案】C【解析】当f′(x)<0时，f(x)单调递减，从题图可知，当x∈(－2，0)∪ (2，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－2，0)和(2，＋∞)．
3．(2021年玉林期末)已知函数f(x)＝x2－4x，在下列函数中，与f(x)在(0，＋∞)上的单调区间完全相同的是(　　)A．g(x)＝x3－2　B．g(x)＝(x－2)exC．g(x)＝(3－x)ex　D．g(x)＝x－2ln x【答案】D
一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)上：
函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
【预习自测】1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　)
【答案】C【解析】当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，f(x)单调递增；当－10，所以f′(x)<0，f(x)单调递减；当01时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
【答案】D【解析】当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．
3．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
【答案】B【解析】当－10，所以f(x)在(－1，1)上单调递增．又导函数y＝f′(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以y＝f(x)在(－1，0)上的斜率随着x的增大而增大，在(0，1)上的斜率随着x的增大而减小，只有选项B符合．
题型1　利用导数判断或证明函数的单调性
【解题探究】根据导数与函数单调性的关系求解．
利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．要注意若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
1．讨论函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：y′＝(ax3－1)′＝3ax2.①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；③当a＝0时，y′＝0，y＝－1，函数在R上为常函数．
题型2　求函数的单调区间
x＝－1和x＝1把函数定义域划分成三个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示．
∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
方法二：∵f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．令f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，∴f(x)的单调递减区间为(－1，1)．故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减．【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性比较方便．
我们把方法一叫“列表法”，主要是利用f′(x) 零点列表求函数单调区间，具体解题步骤参考教材P88；方法二叫“解不等式法”，具体步骤如下：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)通过解f′(x)＞0或f′(x)＜0来求出单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
解：(1)函数的定义域为R，y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．方法一：令y′＝0，解得x＝0或x＝2.
方法一：令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.x＝－1和x＝1把函数定义域划分成四个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示．
所以函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)，(0，1)．方法二：令f′(x)>0，解得x<－1或x>1；令f′(x)<0，解得－1 (2022年昆明模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
题型3　利用导数判断函数图象
【答案】A【解析】设f′(x)图象与x轴的交点横坐标从左到右依次为a，b，c(a在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数递减区间．
题型4　含参数的函数的单调区间
含参数的函数的单调性问题要先弄清参数对导函数f′(x)在等区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论：(1)由二次函数型引发的分类讨论．讨论分以下四个方面：①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论．
(2)由定义域或给定区间引发的分类讨论(如导函数的零点是否在定义域或给定区间内？零点将定义域或给定区间划分为哪几个区间？若不能确定，则需分类讨论)．(3)由导函数的零点含有参数引发的分类讨论(如零点大小、零点与定义域的关系等)．
如果函数y＝f(x)的图象如右图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
易错警示　不能抓住图象的关键特征致误
【错解】C【错因】原函数与导函数的图象关系理解不深刻，凭空乱猜．【正解】由原函数的图象可知，函数先增再减，再增再减，故导函数值应是先正再负，再正再负．故选A．【警示】判断函数f(x)与其导函数f′(x)的图象，关键是抓住f(x)的增减性与f′(x)的正负的对应关系．
1．利用导数判断或证明函数单调性的方法
2．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．3．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
4．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)方法一：求出f′(x)的零点，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负．方法二：在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．[注意]如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”字隔开．
5．研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．(题型3)(2022年成都月考)已知函数f(x)＝x2＋2cs x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　)【答案】A【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cs x≥0，所以f′(x)在R上单调递增．
3．(题型4)(2022年景德镇期末)若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为单调减函数，则m的取值范围是(　　)A．[24，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－3]D．(－∞，0]【答案】A
4．(题型3)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)A．2f′(2)＜f(4)－f(2)＜2f′(4)B．2f′(4)＜2f′(2)＜f(4)－f(2)C．2f′(2)＜2f′(4)＜f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)＜2f′(4)＜2f′(2)
5．(题型4)已知函数f(x)＝xln x＋ax＋b在(1，f(1))处的切线为2x－2y－1＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．