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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.3 幂函数评课ppt课件
展开(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
____是____的函数
我们先来看几个具体的问题:
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_________
以上问题中的函数具有什么共同特征?
(3) 均是以自变量为底的幂;
一般地,函数 叫做幂函数(pwer functin) ,其中x为自变量, 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = xK 的形式, 其特征可归纳为“系数为1,只有1项”.
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
已知函数 是幂函数,并且是偶函数,求m的值。
在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.
结合图象,研究性质:定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
定义域:值 域:奇偶性:单调性:
可以看出,常函数y=1的图像比幂函数y=x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y=1不是幂函数.
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?
在第一象限内,当a>0时,图象随x增大而上升。当a<0时,图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?
图象都经过点(1,1)
a>0时,图象还都过点(0,0)点
观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
⑵在第一象限内,当a>0时,图象随x增大而上升: 若a>1时,图象随x增大是下凸上升(快增); 若0⑶a>0时,图象还都过点(0,0)点.
⑴所有的幂函数在(0,+∞),都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
一般幂函数的图像和性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);
(2) 如果α>0,则幂函数图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;
(3) 如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在y轴上方无限地逼近x轴;
(4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.
从而有 是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减函数.
例1.如果函数是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减函数,求满足条件的实数m的值.
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
(1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3 (3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
(1) 若能化为同指数,则用幂函数的单调 性;(2) 若能化为同底数,则用指数函数的单 调性;(3)当不能直接进行比较时,可在两个数 中间插入一个中间数,间接比较上述 两个数的大小.
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
练习3 如图所示,曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内的图象,已知 a分别取 四个值,则相应图象依次为:________
一般地,幂函数的图象在直线x=1的右侧,大指数在上,小指数在下,在Y轴与直线x =1之间正好相反。
证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2;
(2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ;
(3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号;
所以幂函数 在[0,+∞)上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出f(x1)<f(x2)。
0<k<1开口 向右抛物线型
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象
k>1开口向上型抛物线
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