数学八年级上册13.2 命题与证明图文ppt课件

这是一份数学八年级上册13.2 命题与证明图文ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了课前热身，思路总结，作辅助线，知识回顾，三角形的外角的概念，得到∠ACD，我们曾经，像这样，由三角形的一边，三角形的外角等内容，欢迎下载使用。

1、在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3、什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形中，相邻两边所夹的角叫作三角形的内角.
三角形的内角和是 180°
2、如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= .
转化为一个平角或同旁内角互补等，
这种转化思想是数学中的常用方法.
为了证明三个角的和为180°,
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思考：多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.
把 △ABC 的一边 BC 延长至点 D，
在三角形内角和定理的证明中，
与另一边的延长线组成的角，
∠ACD 是 △ABC 的一个外角
三角形的外角应具备的条件：
① 外角的顶点是三角形的一个顶点；② 外角的一条边是三角形的一边；③ 另一条边是三角形某条边的延长线.
在三角形的每个顶点处有多少个外角？
问题 1 如图，延长AC到E，
∠DCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题 2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，
∠ACD =∠BCE；
画一画 画出 △ABC 的所有外角，共有几个呢?
三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，
因此三角形共有 6 个外角.
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC 是 △AEC 的外角;
∠AEC 是 △BEC 和 △BEF 的外角;
∠EFD 是 △BEF 和 △DCF 的外角.
问题1 如图，△ABC 的外角 ∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？
即 ∠BCD+∠ACB=180°
三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角.
外角与相邻内角的大小不能确定。
问题 2 如图，△ABC 的外角 ∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B)有什么关系？
∴ ∠BCD=∠A+∠B.
∵ ∠A+∠B=180°-∠ACB，
∠BCD=180°-∠ACB
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
与它不相邻的两个内角的和.
过点C作CE∥ AB
∠2= ∠A
∵ ∠ACD= ∠1+ ∠2
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
∴ ∠ACD=∠A+ ∠B
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
如图 ，试比较∠2 和∠1、∠2和∠B的大小；
∴ ∠2=∠1+∠B
大于与它不相邻的任何一个内角.
∵ ∠2是△ABC的外角
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
三角形内角和定理的推论
1、求下列各图中 ∠1 和 ∠2 的度数.
∠1=18 °, ∠2=50 °
对于一个外角及与它不相邻的两个内角，若已知其中任意两个角的度数，则可以求出第三个角度数.
2、如图、∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠A=42° ，∠ACE=18°
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE=60°
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF =88°
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
延长BD 交 AC 于点 E.
∵ ∠A=60°，∠B=20°
∵ ∠DEC=80°，∠C=30°
延长CD交AB于点F（解题过程同解法一）.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求 ∠BDC 的度数.
连接AD，并延长到点E.
∴ ∠3=∠1+∠B，
∴ ∠BDC=∠3+∠4
=∠1+∠B+∠2+∠C
=∠BAC+∠B+∠C
又∵ ∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°
60°+20°+30°
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
4、如图，P 为 △ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求 ∠A 的度数．
解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出 ∠A 的度数．
5、如图 ，试比较 ∠3 、∠2、 ∠1 的大小 .
∵ ∠2 是 △ABC 的外角
又 ∵ ∠3 是 △DCE 的外角
∴ ∠3＞∠2＞∠1
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）
6、已知：如图，D 是 △ABC内的一点. 求证：∠BDC>∠A
例 5 如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠BCA
∠3=∠BAC+∠ABC
∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC
∴ ∠1+∠2+∠3=360°
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
∴ ∠1+∠2+∠3=
∵ ∠1+∠BAC=180°
∠2+∠ABC=180°
∠3+∠BCA=180°
∵ ∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°
∴ ∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°
例 5 如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠1+∠4+∠DAC=360°
思考 你能总结出三角形三个外角 (三个顶点处各取一个) 和的数量关系吗？
三角形的三个外角(三个顶点处各取一个) 的和等于360°.
即： 三角形的外角和等于360°.
1、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
∵ ∠B+∠E=180°-∠BFE
∠ECD+∠BDC=180°-∠CFD
又∵ ∠BFE=∠CFD
∴ ∠B+∠E=∠ECD+∠BDC
∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°
∴ ∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°
把分散的角集中到同一个三角形中，最后利用三角形的内角和定理去解决问题.
即利用“8”字型图形的性质
∵ ∠BFC=∠B+∠E
∠CGD=∠A+∠D
又∵ ∠C+∠BFC+∠CGD=180°
∴ ∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°
即 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E=180°
本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想，
2、如图，求 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数.
∵ ∠E+∠F+∠EDF=180°
∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
又∵ ∠EDF=∠BDC
∴ ∠E+∠F=∠DBC+∠DCB
∵∠A+∠ABF+∠FBC+∠DCB+∠ACD=180°
∴ ∠A+∠ABE+∠E+∠F+∠ACB=180°
2、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
∵ ∠BGC=∠A+∠C
∠BDG=∠DEF+∠F
又∵ ∠B+∠BGC+∠BDG=180°
∴ ∠B+∠A+∠C+∠DEF+∠F=180°
延长CD交AB于点G.
3、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
三角形的外角和等于360°.
4、如图所示，点D，E，F分别是 △ABC 的边 BC，AC，AB 上的点，则 ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 这六个角的度数的和是 .
5、如图，△ABC中，∠A=40°，(1) 若点 P 是 ∠ABC 与 ∠ACB 平分线的交点，求 ∠P 的度数；(2) 若点 P 是 ∠CBD 与 ∠BCE 平分线的交点，求 ∠P 的度数；(3) 若点 P 是 ∠ABC 与 ∠ACF 平分线的交点，求 ∠P 的度数；
∠P=90°+ ∠A
∠P=90°- ∠A