2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用课文课件ppt

这是一份2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用课文课件ppt，共38页。

(一)教材梳理填空1．函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 ；在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 ；如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较，函数的图象就比较“ ”．
[微思考]在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)　　　　　　　B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案：D3．函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升
题型一　判断或讨论函数的单调性 [学透用活](1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
1．利用导数判断或证明函数单调性的思路
2．含有参数的函数单调性的解题技巧讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论．　　
又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．综上所述，当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋6x.令f′(x)>0，得02.∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．　　
题型三　已知函数的单调性求参数范围 [探究发现]1．若已知函数f(x)在[a，b]上为增函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≥0.2．若已知函数f(x)在[a，b]上为减函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≤0.　　　
[解]　法一：直接法f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a－1)且(6，＋∞)⊂(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．
法三：转化为不等式的恒成立问题f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1.因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决参数问题的思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.　　
2．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)B．(－3，－1)∪(1,3)C．(－2,2)D．不存在这样的实数k
解析：由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2

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