初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定图片ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定图片ppt课件,共20页。PPT课件主要包含了情景导入,对边平行且四条边相等,对角相等邻角互补,实践探究,探究1,探究2,归纳总结,应用举例,随堂练习,第1题图等内容,欢迎下载使用。
我们已经研究了一个特殊的平行四边形——菱形,它的定义是什么呢?有哪些性质呢?
问题1:菱形的定义:___________________________________问题2:菱形的性质:(边)__________________________(角)__________________________(对角线)_______________________________________________(对称性)_______________________________________________
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角
既是轴对称图形,也是中心对称图形
如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分ABCD是菱形吗?为什么?
证明:∵等宽纸条对边平行,∴AD∥BC, AB∥CD,∴□ABCD 是平行四边形,从 A点作AM⊥DC 交于点 M,作AN⊥BC交于点 N,∵是两张等宽的纸,∴AM = AN.∵□ABCD 是平行四边形,∴∠ABN=∠ADM,∵AM⊥DC ,AN⊥BC,∴∠ANB =∠AMD = 90°,∴△ABN≌△ADM,∴AB = AD,∴四边形 ABCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
若纸条的宽度是3,∠ABC=60°,你会求菱形的面积吗?你有几种不同的方法?
方法一:菱形是特殊的平行四边形,可以用“底×高”求菱形的面积.解:过点A作AE⊥BC于点E,在Rt△ABE中,∠B=60°,AE=3,设BE=x(x>0),则AB=2x.由勾股定理,得AB2=AE2+BE2,即(2x)2=32+x2,解得x= ,∴BE= ,AB=2 ,S菱形ABCD=BC·AE=2 ×3=6 .
方法二:菱形的对角线互相垂直,可以用 AC·BD,求菱形的面积.解:连接AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E.∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.由方法(1)可知AB=2 ,∴AB=BC=AC=2 ,
∴OA= .在Rt△AOB中,由勾股定理,得OB= = =3,∴BD=2OB=2×3=6.S菱形ABCD=2S△ABC= AC·OB×2= AC·BD= ×2 ×6=6 .
菱形面积的计算公式:①如图,S菱形ABCD=AB·DE,即菱形的面积等于底乘高;② S菱形ABCD= AC·BD,即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.
【方法指导】(1)根据菱形的性质可得BD⊥AC,BE=DE= BD,然后利用勾股定理计算出AE的长,进而可得答案;(2)将菱形分割成两个三角形或四个直角三角形,进而求出整个菱形的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),DE= BD= ×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分),∴AE= = =12(cm),∴AC=2AE=2×12=24(cm)(菱形的对角线互相平分);
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积=2×△ABD的面积=2× ×BD×AE=2× ×10×12=120(cm2).
如图,在△ABC中,AB=BC,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.(1)求证:四边形BDEF是菱形;(2)AB=10 cm,求菱形BDEF的周长.
【方法指导】(1)根据三角形的中位线定理及菱形的定义可证出结论;(2)根据中点的定义和菱形的四条边相等可得菱形BDEF的周长.
解:(1)∵E,F分别是AC,AB的中点,∴EF= BC,EF∥BC.同理可证DE= AB,DE∥AB.∴四边形BDEF是平行四边形.∵AB=BC,∴EF=DE,∴四边形BDEF是菱形;
(2)∵F是AB的中点,∴BF= AB= ×10=5(cm),∵四边形BDEF是菱形,∴BD=DE=EF=BF,∴菱形BDEF的周长为4×5=20(cm).
1.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AC=2 cm,BD=4 cm,则菱形ABCD的面积是_____cm2.
2.如图,菱形ABCD的边长是4 cm,E是AB的中点,且DE⊥AB,则S菱形ABCD=_____cm2.
3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2,周长是8 cm.求:(1)两条对角线的长度;(2)菱形的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD∥BC.∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,∴∠ABC= ×180°=60°,∴∠ABO= ∠ABC=30°.∵菱形ABCD的周长是8 cm,
∴AB=2 cm,∴OA= AB=1(cm).∴OB= = = (cm),AC=2OA=2×1=2(cm).∴BD=2OB=2 (cm);(2)S菱形ABCD= AC·BD= ×2×2 =2 (cm2).
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