北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定图文课件ppt

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宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，销售员阿姨认为是正方形，把纱巾给了宁宁．你认为宁宁看中的纱巾一定是正方形吗？
探究1：探索正方形的判定条件
将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
答：剪下一个等腰直角三角形．
判定一个四边形是正方形的基本方法：
1.直接用正方形的定义判定，即先判定四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；2.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；3.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD又∵AC ⊥ BD，∴△AOB ≌△AOD（SAS）∴AB = AD∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
探究2：正方形判定方法的应用
判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形．方法二：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线互相平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形．
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
【方法指导】平行四边形→矩形→正方形．
证明：∵ BF∥CE, CF∥BE,∴ 四边形BECF是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°, ∠DCB＝90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ,∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°,∴ ∠EBC=ECB, ∴EB=EC,∴□BECF是菱形（菱形的定义）,∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【方法指导】(1)用AAS证明△BED≌△CFD；(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.∵D为BC边的中点，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD(AAS)；(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形DFAE是矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四边形DFAE是正方形．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形CEDF是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线, DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形CEDF是正方形.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D．DE⊥AC，DF⊥AB．求证：四边形CEDF为正方形．
1.下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形（对角线相交于点O）的是 ( 　 　)A．AB CD，AB＝AD，∠A＝90°B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BDD．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是_____．3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，则S四边形ABCD＝______．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形． ∴矩形CEDF是正方形．
5. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1)请判断四边形EFGH的形状，并说明为什么？(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
解：(1)四边形EFGH是平行四边形．理由是：连BD，EH、FG分别是△ABD和△CBD的中位线，∴EH∥BD∥FG，EH＝ BD＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等．
6. 如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N.(1) 求证：ADB=CDB；(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明：(1)∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵BD = BD ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD, PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴DB平分∠ADC. 又∵∠PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. ∴四边形NPMD是正方形.