2022衡水冀州区一中高二下学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年下学期期中考试

高二年级数学试题

考试时间：120分钟试题分数：150分

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）

1. （）

A. 0 B. 11 C. 12 D. 5

2. “”是“与直线平行”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）

A. 13 B. 12 C. 9 D. 6

4. 角的终边与单位圆交于点,则

A. 1 B. -1 C.  D.

5. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）

A.  B.  C.  D.

6. 的展开式中，含项的系数是（）

A.  B. 28 C. 29 D.

7. 已知函数，则其导函数的图像大致是（）

A.  B.

C.  D.

8. 车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（）

A. 26 B. 46 C. 52 D. 126

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 已知三个数1，a，4成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

10. 已知，则（）

A.  B.

C.  D.

11. 已知随机变量，随机变量，那么下面正确的是（）

A.  B.

C.  D.

12. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则（）

A.

B.

C.

D.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 袋子中装有大小、形状都相同的2个红球，3个白球和3个黄球，从中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则________．

14. 调查表明，男性患色盲的概率是5%，女性患色盲的概率是0.25%．在一次调查中，男性人数占比60%，那么从调查的所有人中随机抽取一人，此人患色盲的概率是________．

15. 函数的极值点是___________.

16. 如图，是一块半径为半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则

（1）______，

（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知在中，角，，的对边分别为，，.若，.

（1）求；

（2）若的面积为，求.

18. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256．

问题：在的展开式中，_____．

（1）求值；

（2）若其展开式中常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

19. 如图，是圆的直径，是圆上异于，的一点，垂直于圆所在的平面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20. 已知，是椭圆：上两点.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.

21. 设函数．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若，为整数，且时，，求的最大值．

22. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为().现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若按方案一且，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

（2）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？

（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围.

1【答案】A

2【答案】A

3【答案】C

4【答案】C

5【答案】A

6【答案】D

7【答案】C

8【答案】A

9【答案】AD

10【答案】ACD

11【答案】AD

12【答案】BC

13【答案】

14【答案】3.1%

15【答案】

16【答案】    ①.     ②.

17【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

，，

由正弦定理可得，

又，所以，

所以，即，，

所以；

【小问2详解】

由，解得，

又由余弦定理得，

所以.

18【答案】（1）条件选择见解析，；（2）1．

【详解】（1）选①：因为，所以n＝8；

选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；

选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；

（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，

令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．

19【小问1详解】

∵是圆的直径，

∴，又垂直于圆所在的平面，DC在圆所在的平面中，

∴，又，，

∴平面，又平面，

∴平面平面；

【小问2详解】

如图，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

设平面法向量为，则

，

令，则，

设平面的法向量为，则

，

令，则，

∴，

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

20【答案】（1）；（2）.

【详解】解：（1）代入，两点：，，，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）设坐标为，则①

线段的中点，，

所以：.

令，并结合①式得，

，

当且仅当，时取等，所以的最小值为.

21【答案】（1）

（2）时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减，在上单调递增.

（3）2

【小问1详解】

因为，，，，，

函数的图像在点处的切线方程为．

【小问2详解】

因为，则，．

若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．

若，令，解得，

则当时，，当时，，

所以，在区间上单调递减，在上单调递增．

综上，时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减，在上单调递增.

【小问3详解】

由于，所以，．

故当时，．①

令，则．

令，，当时，，

函数在上单调递增，而，．

所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．

设此零点为，则．当时，；当时，；

所以，在上的最小值为．由，可得，

所以，．由于①式等价于，

故整数的最大值为2．

22【答案】（1）；（2）选择方案一最优；（3）.

【详解】解：（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，

由题意可知，；

（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；

方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，

所以，，

所以随机变量的分布列为：

所以方案二检测次数的数学期望为；

方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，

若呈阳性则检测次数为3次，其概率为，

设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，

所以，，，

所以随机变量的分布列为：

所以方案三检测次数Y的期望为，

因为，所以选择方案一最优.

（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，

所以，，

随机变量的分布列为：

所以随机变量的数学期望为，

由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，

可得，即，解得，

所以当时，方案二比方案一更“优”.