2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考数学试题含解析

2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两集合的特征结合交集的定义分析求解

【详解】集合A是一个以数为元素的集合，集合B是一个以点为元素的集合，

他们元素的属性不一样，则．

故选：C．

2．设复数z满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由求出复数，则可求得其共轭复数，从而可求出其模

【详解】由，得，

所以，

所以

故选：A．

3．已知直线m，n平面，，，，则“且”是“”的（       ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】利用空间直线平面的位置关系和必要非充分条件的定义判断得解.

【详解】解：面面平行的判定定理：，，，，．

所以“且”推不出“”，

但“”可以推得“且”，

所以“且”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

4．等差数列的前n项和为，若，，则（       ）．

A．27 B．45 C．18 D．36

【答案】B

【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.

【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，

所以，所以，

故选：B．

5．若，则的值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的关系对化简变形，用表示，从而可求出的值，再利用两角和的正切公式化简计算，然后将所求的值代入计算即可.

【详解】因为，

所以，

，

所以．

故选：D．

6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.

【详解】到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

7．在中，、分别为边、上的动点，若，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的基本定理表示向量，列出方程组解出，可得答案．

【详解】在中，，则，

所以

所以，解得，故．

故选：D

8．设函数有个不同零点，则正实数的范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围．

【详解】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．

当时，，所以，即

故选：A

二、多选题

9．若，则下列不等式成立的是（       ）

A． B． C．， D．

【答案】AD

【分析】根据对数函数的性质得到，即可判断A，再根据函数的单调性判断B，利用特殊值判断C，根据、的关系判断D.

【详解】解：由得，故选项A正确；

易知在上单调递增，由得即，故选项B错误；

对于C，当，，时，不成立，故选项C错误；

对于D，因为，所以，，所以，，

所以，故选项D正确；

故选：AD．

10．已知向量，函数，下列命题说法正确的选项是（       ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数的最大值为

D．函数在上的单调增区间．

【答案】ABD

【分析】由数量积运算计算出并化为三角函数形式，然后利用正弦函数图像性质分别验证选项即可.

【详解】由已知得，

所以函数的最小正周期为，选项A正确；

，选项B正确；

的最大值为1，当时取到，选项C错误；

由得的递增区间为，

因为，

所以函数在上的单调增区间，选项D正确．

故选:ABD

11．自2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的二次回归方程为，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为5

D．估计第6周治愈人数为220

【答案】BC

【分析】设，则，求出样本中心点即可判断选项A,B；利用残差公式计算判断选项C；令，计算即可判断选项D.

【详解】解：设，则，

由已知得

所以，故选项A错误，选项B正确；

在中，令，得，

所以此回归模型第4周的残差．故选项C正确；

在中，令，得，故选项D错误．

故选：BC．

12．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（       ）

A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为

C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为

【答案】ABCD

【分析】先利用焦点三角形的性质求出，再求出，即可判断出A选项；在利用即可判断B和C；再利用点到直线的距离公式即可判断D.

【详解】设，，则，

由双曲线的定义的得

所以，，

所以是等边三角形，选项A正确；

在中，，

即，，所以选项B正确，

由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，

渐近线方程为，所以选项C正确，

点到直线的距离为，

所以选项D正确．

故选：ABCD．

三、填空题

13．已知的展开式中的常数项是672，则实数a的值为_____________；

【答案】

【分析】运用二项式定理计算即可.

【详解】由二项式定理通项公式知：   ，

令 ，得 ，即 ，解得，

故答案为： .

14．柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为__________．

【答案】

【分析】先求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的总数，再求出随机的取两只的总数，再利用古典概型的概率公式求解.

【详解】解：由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为.

故答案为：

15．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由题意求得抛物线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，设而不求，整理化简得到结论，根据这个关系，得到，代入消元整理，利用基本不等式求最小值.

【详解】已知，即，所以抛物线的方程为，

若直线与轴重合，这该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

设直线的方程为，，

联立，可得

则

所以，

所以，

则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为．

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为_________；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________．

【答案】     ，5    

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可；再利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.

【详解】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为，

则，且，即，

整理得，解得或，则或，

所以的所有可能的取值为，5；

由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，

显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，

则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，

令，求导得：，当或时，，当时，，

即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，

所以a的取值范围为.

故答案为：，5；

【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

五、解答题

17．在中a，b，c分别为内角A，B，C，的对边，已知．

(1)求角A；

(2)若，且的内切圆半径，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知式子利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A；

（2）先利用面积法可求得，再结合（1）得到的式子可求出，从而可求出三角形的面积.

【详解】(1)由已知及正弦定理得：，即，

所以，

又因为，故．

(2)由已知得，

即，

又因为，即，

所以，解得，或（舍去），

所以的面积为．

18．今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数），体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组进行研究．

(1)第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上的男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记3人中抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(2)第二小组从学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表．

根据小概率值的独立性检验，分析是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

【答案】(1)分布列见解析；期望为

(2)有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关

【分析】（1）先利用分层抽样的定义求出单次完成1-5个中，6-10个中，11-15个中选的人数，再由题意可得X的所有可能取值有0、1、2，求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望；

（2）根据表中的数据和公式求出，再根据临界值表中的数据判断即可

【详解】(1)如图，，

即从1-5个中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个，

所以X的所有可能取值有0、1、2，

且，，

所以X的分布列为

．

(2)零假设为：体育锻炼与学业成绩独立，根据列联表中的数据得

可推断零假设不成立，且该推断犯错误的概率不超过0.005．

所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．

19．记数列{an}的前n项积为Tn，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和Sn．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得；

（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.

【详解】(1)证明：因为为数列的前项积，

所以可得，

因为，所以，

即，所以，

又，所以，

故是以4为首项，2为公比的等比数列；

(2)解：由（1）得：，所以，则

设①

②

则①-②得：

则

所以的前n项和

20．如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．

(1)求证：；

(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由面面垂直的性质可得平面BDE，再利用线面垂直的性质可得结论，

（2）取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】(1)因为，且BE平分，

所以，

又因为平面平面SAB，且平面平面，平面SAB，

所以平面BDE，

又因为平面BDE，

所以；

(2)取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，

所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，

因为，

则，

取，则，

因此，

由图可知平面EBD与平面BDC所成角为钝角，

所以平面EBD与平面BDC所成角的余弦值为．

21．已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】(1) 利用离心率找出a，c关系即可；

(2)设，再用分别表示出，，的坐标，然后计算出直线的斜率与斜率的关系即可.

【详解】(1)由已知得，解得，所以．

(2)由已知，不妨设，则，，

所以，，所以，

代入椭圆的方程得：，

设，则，即，

所以，即，

所以，即，

即，也即为定值．

【点睛】在求圆锥曲线的定角时，常常需要优先考虑特殊角，这样可以直接通过斜率来验证我们的猜想，若满足斜率之积为，则正确，否则，再寻其他方法处理问题.

22．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值为；无极大值

(2)a的取值范围为

【分析】（1）先判断函数定义域，再求导结合函数单调性求出极值即可；

（2）对函数进行同构变形，令，则对任意恒成立，首先可以证明对恒成立，原题转化为求在上单调递增时a的取值范围即可.

【详解】(1)由题意得：，，

所以，

令，解得，

当时；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以有极小值，为；无极大值．

(2)由已知得，对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则对任意恒成立，

下证：对任意恒成立，

令，．

则在上恒成立，且仅当时取""．

所以在上单调递减，，

即，

所以对任意恒成立，只需在上单调递增，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

所以即a的取值范围为.

【点睛】导数求参问题要善于运用转化的手法，本题先运用同构方法对原不等式变形，最终转化为函数单调性问题，结合函数的单调性与导数的关系，即可解答.