2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（五）（含解析）

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（五）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 前南斯拉夫 B. 加拿大
C. 意大利 D. 中国

4. 下列说法正确的是(    )

A. 一个游戏的中奖概率是 则做次这样的游戏一定会中奖
B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C. 一组数据 ，，，，，， 的众数和中位数都是
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定

5. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边共线，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数的自变量的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

7. 如图，要拧开一个边长为的正六边形，扳手张开的开口至少为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点，，在上，是的一条弦，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示在中，边上的高线画法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 年，新型冠状病毒奥密克戎毒株继续肆虐全球，病毒的平均直径约是米．数据科学记数法表示为______．
12. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，点、、是格点，则图中扇形中阴影部分的面积是______ ．

13. 方程的解为______．
14. 如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为______．

15. 如图，在反比例函数图象上，轴于，则的值为______．

16. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：

估计树苗移植成活的概率是           结果保留小数点后一位．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    先化简后求值：，其中．
18. 本小题分
    计算：．
19. 本小题分
    请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整．
    已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法：

证明：连接，，，．
由作法可知，
______，
点在线段的垂直平分线上；
______，
点在线段的垂直平分线上；依据：______
直线是线段的垂直平分线依据：两点确定一条直线
．

20. 本小题分
    年月日，北京冬奥会正式拉开帷幕，小明同学非常喜欢冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰这五个项目，他也想知道大家对这五个项目的喜爱程度，于是他对所在小区的居民做了一次随机调查统计，让每个人在这五个项目中选一项最喜欢的，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：其中冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰
    该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人，______，并补全条形统计图；
    若该小区有居民人，试估计喜欢短道速滑这个项目的居民约有多少人？
    由于小明同学能够观看比赛的时间有限，所以他只能从这五个项目中随机选两个项目观看，请问他同时选到，这两个项目的概率是多少？要求画树状图或列表求概率
     

21. 本小题分
    如图，在中，，点是边的中点，点是边上的点，以为圆心，为半径的交，，于点，，，且点是弧的中点，连接．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

22. 本小题分
    如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为米的门，总共用去篱笆米；
    为了使这个长方形的面积为平方米，求边为多少米？
    用这些篱笆，能使围成的长方形面积是平方米吗？说明理由．

23. 本小题分
    资阳市为实现网络全覆盖，年拟建设基站七千个如图，在坡度为：的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走米到达处，在处测得塔顶的仰角为点、、、均在同一平面内参考数据：，，
    求处的竖直高度；
    求基站塔的高．

24. 本小题分
    定义：若实数，满足，，且，为常数，则称点为“轮换点”例如，点满足：，，则点是“轮换点”已知：在直角坐标系中，点．
    和两点中，点______是“轮换点”；
    若二次函数上有且仅有一个“轮换点”，且满足：当时，，，求二次函数解析式；
    若点是“轮换点”，用含的代数式表示，并求的取值范围．
25. 本小题分
    抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方．
    如图，若，．
    求该抛物线的解析式；
    若是抛物线上一点，满足，求点的坐标；
    如图，已知直线，与轴分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】
解：根据相反数的定义知，的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、一个游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏可能中奖，故本选项错误；
B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误；
C、数据，，，，，，中出现的次数最多的为，故众数为，排序后中位数为，故本选项正确；
D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误．
故选：．
利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的答案．
本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义，考查的知识点比较多，但相对比较简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意：，，，，
，
，
故选：．
利用正多边形的性质求出，，即可解决问题．
本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点有：分式有意义，分母不为；平方根的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得且，
解得且．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用解直角三角形进行求解．
根据题意，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，再根据的直角三角形的知识求解．
【解答】
解：设正多边形的中心是，其一边是，
，
，
四边形是菱形，
，，
利用勾股定理可得：，
，且，
，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
连接，可得出，根据点，，得，，由勾股定理得出，再在直角三角形中得出利用三角函数求出即可．
【解答】
解：，，

，，
，
，
连接，如图所示：
，
．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用高线的概念得出答案．
【解答】
解：中是边上的高，不是边上的高，故A错误；
中是边上的高，故B正确；
中与垂直，但不经过顶点，所以不是边边上的高，故C错误；
中是边上的高，不是边边上的高，故D错误．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以得到各段时间段内随的变化情况，从而可以判断哪个选项中的函数图象符合题意，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，随的增大而增大，
小明的妈妈开始给小明送作业到追上小明这段时间，随的增大而减小，
小明妈妈追上小明稍作停留这段时间，随的增大不变，
小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，随的增大而增大，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
由勾股定理得，，
扇形中阴影部分的面积，
故答案为：．
证明≌，根据直角三角形中锐角互余得到，根据勾股定理求出、，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在反比例函数图象上，
，
轴于，
，，
，
故答案为：．
利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比邻边，求出即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

16.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是，
故答案为：．
根据表格中的数据和概率的含义，可以用树苗移植成活的频率来估计树苗移植成活的概率．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应频率，从而估计概率．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】直接利用公式法以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用整式的运算法则计算得出答案．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则和零指数幂的意义，正确利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则和零指数幂的意义化简运算是解题的关键．
 

19.【答案】    与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 

【解析】证明：连接，，，．
由作法可知，
，
点在线段的垂直平分线上；
，
点在线段的垂直平分线上；依据：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线依据：两点确定一条直线，
．
故答案为：，，与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
根据作图过程和线段垂直平分线的性质即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，直线的性质：两点确定一条直线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
 

20.【答案】解：；；
项目人数为人，
补全条形图如下：

估计喜欢短道速滑这个项目的居民约有人；
列表如下：

共有种等可能的结果数，其中选到，两个景区的结果数为，
他同时选到，这两个项目的概率是． 

【解析】解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，
则，即，
故答案为：、；
见答案；
见答案．
用想去项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去项目的百分比得到的值，然后计算出想去项目的人数后补全条形统计图；
用乘以可估计喜欢短道速滑这个项目的居民的大约人数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出选到，两个项目的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：连接交于点，

，
，
又点是的中点，
，
是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是的切线；
解：设，则，
，
，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接交于点，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，则可得出答案；
设，则，由勾股定理可求出答案．
本题考查了切线的性质为和判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

22.【答案】解：设的长为米，
依题意的方程：，
解得：，，
答：当的长度为米或米时，长方形的面积为平方米；

假设长方形的面积是平方米，
依题意得：即，
，
该一元二次方程无实数根，
假设不成立，
长方形的面积是不能为平方米． 

【解析】根据题意得出长宽，进而得出答案；
根据题意得出长宽，得到方程无解即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

23.【答案】解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，
斜坡的坡度为：，
，
即，
设，则，
在中，，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
答：处的竖直高度为米；
斜坡的坡度为：，
设米，则米，
又，
米，
米，
在中，，，
，
，
解得，
米，米，
米，
米，
答：基站塔的高为米． 

【解析】通过作垂线，利用斜坡的坡度为：，，由勾股定理可求出答案；
设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
 

24.【答案】 

【解析】解：根据实数，满足，，且，为常数，则称点为“轮换点”，
，
则，此时，
不是轮换点；
，
则，此时，
是轮换点．
故答案为：；
设点是轮换点，
由题意可知：，且，
得到：，即：，
或；
当时，
则，即：，
二次函数上有且仅有一个“轮换点”，
有两个相等的根，即：，
又，
，
解得：，
，且，
，
当时，，
，
，
；
当时，
，即：，
同理得：，
，
；
，
，
，
，
解得：或舍去，
，，
，
综上所述，二次函数解析式为：或；
点是“轮换点”，
，，
得：，
，
由“轮换点“定义可知：，
，
，
得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
把代入，得：，
，
，
，
故，．
根据“轮换点”的定义进行求解即可；
设点是轮换点，根据轮换点的定义，得到，然后分两种情况：或，再结合时，，，列出方程组，即可求出、、的值，即可得到答案；
由新定义得到，，然后，分别得到和，再进行因式分解得到和，进而求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了新定义“轮换点”、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、因式分解、完全平方公式等知识，本题综合性强，有一定难度．运用分类讨论思想是解题关键．
 

25.【答案】解：将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
如图，
当点在左侧时，
由，得
，
与关于轴对称，，
得；
当点在右侧时，延长交轴于点．
作于点，则，．
，
．
设，则，．
在中，由，得．
点．
直线的解析式为
解方程组得，．
，

点的坐标为或

点运动时，是定值，定值为，理由如下：
作于点，设，，，则，．
，
，
．
同理．
．
． 

【解析】根据待定系数法求函数解析式，可得答案；根据平行线的判定，可得，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得点坐标；
根据待定系数法，可得、点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用函数值相等的点关于对称轴对称得出点坐标是解题关键；利用待定系数法求出、点坐标是解题关键．