湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学上学期入学考试试卷（Word版附答案）解析

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学上学期入学考试试卷（Word版附答案）解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解析】解：，
．
故选：．
2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先分别解出A，B集合，然后画数轴分析即可求解
【解析】∵，由解得，
又∵，由解得，
∵
∴，画数轴可知
∴
故选：D．
3．四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为的正方形，若四棱锥P−ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出到平面的距离的最大值，在中利用勾股定理即可求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求出结果．
【解析】解：如图所示：，
设底面正方形的对角线交点为，则面，球的球心在上，
设球的半径为，
是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，
点到平面的距离的最大值为，即，
在中：，，，
，
解得：，
所以球的表面积为．
故选：．
4．如图，在大小为45°的二面角A−EF−D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得出．
【解析】解：四边形与都是边长为1的正方形，，
又大小为的二面角中，．
，
，
．
故选：．
5．将曲线：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求解即可．
【解析】解：曲线：上的点向右平移个单位长度，
得到再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线的方程为．
故选：．
6．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解析】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
7．已知l，b表示不同的直线，，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若l，，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系；由两平面平行的定义；由直线与平面垂直的判定；由平面与平面垂直的性质分析可得出结论．
【解析】解：若，，则或，故错误；
若l，，，，则或，故错误；
若，，，则，故正确；
若，，，则或，相交，不能确定故错误．
故选：C．
8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用列举法求出基本事件有6个，算盘表示的数为质数包含的基本事件有2个，由此能求出算盘表示的数为质数的概率．
【解析】解：从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，
基本事件有：7，16，25，52，61，70，共有6个，
算盘表示的数为质数包含的基本事件有：7，61，共2个，
算盘表示的数为质数的概率是．
故选：．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得０分．）
9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中支出在元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则一定有600人支出在元
【答案】BC
【分析】在中，样本中支出在，元的频率为0.3；在中，样本中支出不少于40元的人数有：；在中，；．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在，元．
【解析】解：由频率分布直方图得：
在中，样本中支出在，元的频率为：，故错误；
在中，样本中支出不少于40元的人数有：，故正确；
在中，，故的值为200，故正确；
．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在，元，故错误．
故选：．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与B互斥，则是必然事件
B. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、 丁分别任取一本进行阅读，设事件E=“甲取到《红楼梦》”，事件F= “乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A=“向上的点数不大于5”，事件B=“向上的点数为质数”，则
D．10个产品中有2 个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2 个基本事件
【答案】BCD
【解析】对于A，事件A与B互斥时，不一定是必然事件，故A不正确；
对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙
取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事,故B正确；
件，B正确；对于C，事件A={1，2，3，4，5}，事件B={2,3,5}，所以B包含于A，C正
确；
对于D，基本事件为{正品，次品}，有两个，D正确
故选：BCD．
11．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【解析】解：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，
求得，或，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．
故选：．
12．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可．
【解析】解：函数是上的单调递增函数，且（1），据此可知，
结合“零点相邻函数“的定义可得，则，
据此可知函数 在区间上存在零点，
即方程 在区间上存在实数根，
整理可得：，
∵
当且仅当，即时取等号
∴
故：选BCD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
【答案】4
【分析】由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
【解析】解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而与的两个交点的坐标是，，，
根据两点之间的距离公式得到，
另解：设直线，联立曲线方程，可得，
可得，，，，
可得．
当时，取得最小值4．
14．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用定义的运算建立函数关系式，解决恒成立问题转化成二次函数的图象恒在轴上方，由△，结合二次不等式的解法可得所求范围．
【解析】解：不等式对任意实数恒成立，
即为，
化简得在上恒成立，
则△，即，
即有，即，
解得，
15．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，，，则BD的长为________．
【答案】
【分析】由，，得到，代入并利用诱导公式化简，求出的值，在三角形中，由，及的值，利用余弦定理即可求出的长．
【解析】解：，，
，
，
在中，，，
根据余弦定理得：，
则．
16．关于函数（），有下列命题：
①由，可得必是的整数倍；
②若，，且，则；
③函数的图象关于点对称；
④函数的单调递增区间可由不等式（）求得．其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【答案】②③
【分析】对于①和③通过利用三角函数的函数值等于0分析变量和的取值情况，从而判断命题的真假；
对于④，直接利用求复合函数单调性的方法加以判断；
②的判断稍微困难，分析得到，为的第一个周期，利用周期性加以变形，得到，然后利用
，
结合单调性即可得到结论．
【解析】解：对于①．令，得到是整数），
由，可得必是的整数倍，故①错误；
对于②．，
求解得，，周期．
则，为的第一个周期（此周期内单调增大于．
设，的取值区间为，
由于在中取值范围为，得
即
又，在中性质如上述，由单调性有．故②正确；
对于③．令，得到是整数），当时，得到，
所以函数的图象关于点，对称．故③正确；
对于④．函数，
若求其增区间，只需让在正弦函数的减区间内即可，故④不正确．
所以正确的命题的序号是②③．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
【分析】
（1）要证直线平面，只需证明，不在平面中，平面即可．
（2）连接，证明．说明平面平面，推出平面；然后证明平面平面．
【解析】
证明：（1）在中，
，分别为，的中点，
．
又不在平面中，平面
直线平面．
（2）连接．在中，
，．即两底角相等并且等于，
为正三角形．
是的中点，
．
平面平面，平面，
平面平面，
平面．
又平面，平面平面．
18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者、、通晓日语，、、通晓俄语，、通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
【分析】
（1）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．
（2）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“，不全被选中”的对立事件“，全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．
【解析】
解：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，则，，，，，，，，，，，，，，，，，
事件由6个基本事件组成，因而．
（2）用表示“，不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“，全被选中”这一事件，
由于，，，，，，，，，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19．（本小题满分12分）已知两点A（，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数，求直线AB的倾斜角的范围．
【分析】
（1）根据斜率公式计算即可，
（2）当时，直线的斜率不存在，写出直线的方程；当时，由两点式求直线的方程．
（3）已知实数，，利用不等式的性质求出斜率的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围．
【解析】
解：（1）当时，直线的斜率不存在；
当时，．
（2）当时，的方程为，
当时，的方程为．
（3）①当时，；
②当时，，，，
，，．
综合①②，知直线的倾斜角，．
20．（本小题满分12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．
【分析】
（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
（2）运用余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，求得的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．
【解析】
解：（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点且，（），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【分析】
（1）过在平面内作直线，推得为平面和平面的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，0，，运用向量法，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解析】
解：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
设平面中有任一直线，则直线，
，直线，
由线面垂直的定义得平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
设，0，，，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
22．（本小题满分12分）已知二次函数（a、，），设方程的两个实数根为和．
（1）如果，设二次函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求b的取值范围．
【分析】
（1）有转化为有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．
（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况来讨论．再利用两根之和与两根之积和来求的取值范围．
【解析】
解：（1）设，
，
由条件，
得（2），（4）．即
由可行域可得，．
（2）由，知，故与同号．
①若，则（负根舍去），
．
，即；
②若，则（正根舍去），
，即．
综上，的取值范围为或．