湖南省部分校2022-2023学年高三数学上学期入学检测试卷（Word版附答案）

2022年秋季高三入学检测

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分

时量120分钟，满分150分.

得分：__________.

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知边长为2的等边为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

4.自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收人是（    ）

A.4800元    B.5600元    C.6400元    D.7200元

5.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为，圆台的侧面积为，则（    ）

A.    B.    C.    D.无法确定与的大小

7.已知函数，则的大小关系是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.如图正方体的棱长为，以下结论正确的是（    ）

A.异面直线与所成的角为

B.直线与垂直

C.直线与平行

D.三棱锥的体积为

10.已知函数，下列说法正确的是（    ）

A.时存在单调递增区间

B.时存在刑个极值点

C.是为减函数的充要条件

D.无极大值

11.已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ）

A.直线过焦点时，最小值为4

B.直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），

C.若中点的横坐标为3，则最大值为8

D.点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：

12.将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（    ）

A.    B.

C.    D.

第II卷

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中常数项是__________（用数字作答）.

14.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是__________.

15.在中，，则当取最大值时，__________.

16.过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70.分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

18.（本小题满分12分）

某公园要建造如图所示的绿地为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米且.设.

（1）当时，求的长；

（2）当时，求面积的最大值及此时的值.

19.（本小题满分12分）

如图，在直角中，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且.

（1）求点到平面的距离；

（2）设直线与平面所成的角为，求的值.

20.（本小题满分12分）

某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：

改造前：；

改造后：.

（1）完成下面的列联表，并依据小概率值=0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.

（其中）

21.（本小题满分12分）

设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

（1）求椭圆C的离心率.

（2）设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；

（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.

①证明：；

②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

2022年秋季高三入学检测

数学参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A  【解析】复数.

2.D  【解析】易知，则，故选D.

4.C  【解析】从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是元）.

5.D  【解析】函数，可得在区间内没有零点，可得：

解得.故选D.

6.B  【解析】设圆台上下底的半径分别为，由其母线与下底面成角，且母线长恰好等于上下底半径之和，则，且满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径是，表面积，圆台上下底的半径分别为，母线长为，侧面积，则.

7.A  【解析】函数的图像可看成由向右平移2个单位得到，而是偶函数且在上单调递增，则的图像关于对称，且在上单调递增，

所以，而，则.

以下说明，

考查函数，易证在上单调递增，故.

8.C  【解析】由得，由余弦定理得，则是直角三角形，为直角，对的任何位置，易证当面面时，此时的点到底面的距离最大（略），此时即为与底面所成的角，设，在中，，点到底面的距离，则

，在上，在上，故当时，该棱锥的体积最大，是.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.ABD  【解析】如图所示，以为原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.

选项，

，

，

异面直线与所成的角为，故选项正确；

选项，

，

直线与垂直，故选项正确；

选项，

直线与垂直，不平行，故选项C错误；

选项，三棱锥的体积，故选项D正确.

故选ABD.

10.AC  【解析】存在单调递增区间，即在有解，即：在有解，最小值为，故，A正确；时，函数的判别式，存在两个零点，但，故在时，两零点异号，即只有一个零点，B错误；

为减函数，即恒成立，则且，故，C正确；当时，存在两个零点，此时存在极大值，错误.

11.ACD  【解析】直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值正确；对于选项，由题可知：，故B错误；由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于选项，依题意，，故，即，同理可得，故直线方程为正确.

12.ABD  【解析】，

，解得或（舍负），即选项正确；

，即选项C错误；

令，则①

②，

①-②得，

，

，

当时，，即选项B正确；

，即选项正确.

故答案选：ABD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.240  【解析】设展开式通项为，整理得，

因为是常数项，所以，所以，

故常数项是，

故答案为：240.

14.  【解析】圆的标准方程为，圆心为.

由题意知，到的距离应不大于2，

即.整理得，解得.

故的最大值是.

15.1  【解析】由在中知，且，

当且仅当时取等号，

在单调递增，则此时取最大值，且，

此时，则，

.

16.  【解析】如图，

根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为.

设双曲线的左焦点为，连接，则.

在中，设，则.在中，由余弦定理得，将代入整理后得，同理.因为，所以，故离心率为.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）由题意得：，

三点共线，则，可得，即.

数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.

（2），

所以

18.【解析】（1）在中，，由余弦定理，得，故.

因此的长为米.

（2）由题意，，所以.

在中，由余弦定理得.

所以.

于是.

当，即时，取到最大值，最大值为.

因此，当时，养殖场最大的面积为平方米.

19.【解析】（1）证明：由题意知：，

平面.

又，所以.

设点到平面的距离为，由求得.

（2）以为原点，的方向分别作为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则.

由题意知，则，

所以.

设平面的法向量为，则取，则，

可得平面的一个法向量为，

所以.

20.【解析】（1）列联表为：

零假设为：：技术改造前后的连续正常运行时间无差异.

，.

依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，即技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护的次数为，则一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.

一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.

设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为.

所以，的分布列为

.

，

个个生产周期内生产维护费的均值为万元.

21.【解析】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，

的横坐标为.当时，，即.

又直线的斜率为，所以，

即，即，

则，解得或（舍去），

即.

（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，

设直线的方程为，

由可得

所以，

又，.

，

化简整理有，得或.

当时，直线经过点，不满足题意；

当时满足方程中，故直线经过轴上定点.

又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且

22.【解析】（1），设，

又，

当时，在上单调递减，，

在上无零点；

当时，在上单调递增，

，

在上有唯一零点；

当时，在上单调递减，

，

在上有唯一零点.

综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，

故函数在区间内恰有两个极值点.

（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，

同理可得，在有极小值点，在有极值点，

由得，

，

，

由函数在单调递增得，

，

由在单调递减得，

.

②同理，

，

由在上单调递减得，

，且，

当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，

即，结论成立；

当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，

即，结论也成立，

综上，对一切成立，故不存在使得.