重庆市缙云教育联盟2023届高三数学8月质量检测试题（Word版附答案）

重庆市2022-2023学年（上）8月月度质量检测

高三数学

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

2．已知，且，成立的充分而不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

3．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ）

A．           B．           C．            D．

4．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．人教版初中数学教材在八年级下册便介绍过海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（       ）

A． B． C．2 D．

7．设随机变量（且），最大时，（       ）

A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01

8．已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．在三棱锥中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（       ）

A．平面 B．

C．三棱锥的体积的最大值为 D．与不垂直

10．已知直线，则（       ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

11．已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（       ）

A．函数在定义域上单调递增

B．函数在定义域上有极小值

C．函数的单调递增区间为

D．不等式的解集为

12．若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（       ）

A．可以等于2022 B．不可以等于3

C． D．时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．集合的真子集个数是__________.

14．函数的零点个数是______．

15．设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.

16．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数在处取得极大值为2．

(1)求函数的解析式；

(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．

18．重庆轨道交通9号线一期己于今年1月25日开通运营，全长32.29公里，从高滩岩站至兴科大道站一路经过23座车站．沙坪坝站是目前客流量最大的站点，某数学兴趣小组在沙坪坝站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了100名乘客，记录了他们从来源地到沙坪坝站所花费时间t，得到下表：

(1)从在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于的概率；

(2)估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间t的中位数；

(3)已知的6人，其平均数和方差分别为5，1.5；的30人，其平均数和方差分别为8，9，计算样本数据中的平均数和方差．

19．如图：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为DD1，BB1的中点.

(1)求证：CF//平面A1EC1；

(2)过点D做正方体截面使其与平面A1EC1平行，请给以证明并求出该截面的面积.

20．已知，平面内一动点满足．

(1)求点运动轨迹的轨迹方程；

(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．

21．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.

(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；

(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；

(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.

22．已知函数，．

(1)若，直线l是的一条切线，求切线l的倾斜角的取值范围；

(2)求证：对于恒成立．

（参考数据：，，，，）

★秘密·2022年8月19日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）8月月度质量检测

高三数学答案及评分标准

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

1．C  2．A  3．A  4．D  5．B

6．A

【详解】

，，又，所以，

所以，所以，

所以 ，

由正弦定理得   的面积，

，将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为. 故选：A .

7．C

【详解】

随机变量，则，

因最大，则有，

即，，

整理得，解得，

而，则，所以.

故选：C

8．B

【详解】

由题意知：，，；

设，则，当时，，在上单调递增，

，即，又，，即；

设，则；

令，则，当时，，在上单调递增，

当时，，，在上单调递减，，

即，，即；综上所述：.

故选：B.

9．AC   10．BD

11．ACD

【详解】

令，则，因为，可得，

又由，可得，

令，可得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，

即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；

由函数，可得，

令，即，解得，所以函数的单调递增区间为，所以C正确；

设，则

注意到时，进而单减

由知时“，即.”

时单减，而，所以D正确.故选：ACD.

12．AD

【详解】

设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，则，

因为，，所以切线方程为，又在切线上，所以，整理得，

令，则过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，因为，

令，得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，

所以，函数的图像大致如图

由图可知当时，直线与曲线的图像没有公共点，即，

当或时，直线与曲线的图像有1个公共点，即，

当时，直线与曲线的图像有2个公共点，即，

当时，直线与曲线的图像有3个公共点，即，

对于A，当，此时，则符合题意，故A正确；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，当时，，则，故C错误；

对于D，当或时，，则当时，，故D正确.

故选：AD.

13．   14．2

15．

【详解】

由，可得，令，

由题意知恰有两个整数，使成立，因为，由，可得，

所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以，且，直线恒过点，且斜率为，

结合图象可得 ，即，解得，

即的取值范围是.故答案为；.

16．

【详解】

根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为.

故答案为：

17．

(1)解：，

因为函数在处取得极大值为2，………………………………………1分

所以，解得，………………………………………………………………3分

经检验符合题意，所以；……………………………………………………………………4分

(2)解：，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

又，

所以当时，，…………………………………………………………7分

对于区间上任意两个自变量的值都有， 

则，…………………………………………………………………………………9分

所以，所以实数的最小值为4．……………………………………………………………………10分

18．

(1)由上表知，乘客花费时间t小于的人数有人，………………………………1分

故在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于的概率.…………3分

(2)设中位数为，因为花费时间t小于12分钟的频率为，花费时间t小于18分钟的频率为，所以，………………………………………………………………………………6分

故由，解得，即估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间t的中位数为分钟.………………………………………………………………………………………………8分

(3)由题意，样本数据中的平均数，……………………………………10分

方差.…………………………………………12分

19．

(1)取中点M，连接……………………………………………………………………………2分

由，可得四边形为平行四边形，则

由，可得四边形为平行四边形，则

则，又平面，平面，则平面；……………………5分

(2)

取AA1，CC1中点G，H，连接DG，CB1，B1H，HD，……………………………………………………6分

因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF//DH

因为四边形AFB1G为平行四边形，所以GB1//AF，所以GB1 //DH

所以GDHB1即为过点D长方体截面，……………………………………………………………………9分

∵DG//A1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DG//平面AEC1

∵DH// C1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DH//平面AEC1

又∵，∴平面DHB1G//平面AEC1.

………………………………………………………………………………12分

20．

(1)设，则，所以点轨迹方程为：．…………4分

(2)显然直线不垂直于轴，

故设：，，……………………………………………………………………6分

代入并整理得： ，

…………………………………………………………………………………………8分

∴

，

整理得：，……………………………………………………………………10分

若，此时过，不合题意；

若，即符合题意，

故直线的斜率为．……………………………………………………………………………………12分

21．

(1)由题设, 服从参数为 的两点分布, .…………………………2分

……………………………………………………4分

(2)记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;

记 表示事件: “甲投中花球”, 则

………………………………………………6分

于是 ……………………………………………………………………………8分

(3)由题设 值可取 , 则

……………………………………10分

于是 ……………………………………………………………………12分

22．

(1)解：因为，所以，设，则，

所以在上单调递增，故，…………………………………………………3分

则，因为，

所以．………………………………………………………………………………………………4分

(2)解：令，，

则，设函数，得，…………………………5分

当时，，，；

当时，，，；

当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………………6分

，，

所以，使得．

又．

．

所以，使得．

所以函数的单调性及极值情况如下表：

……………………………………………………………………………………………………………9分

因为，所以只需证明．

由，得，

所以．

令，，

因为在上单调递减，

所以，…………………11分

所以对于恒成立，即对于恒成立…………………………12分