湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高二数学上学期入学考试试卷（Word版附解析）

明德中学2022年高二年级上学期入学考试试卷

数  学

时量：120分钟    满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（       ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】求出集合，，利用并集定义能求出．

【解析】解：∵集合，

，

．

故选：D．

2．复数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解析】解：．

故选：．

3．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（       ）

A．“至少有1个红球”与“都是黑球”

B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D．“都是红球”与“都是黑球”

【答案】D

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

【解析】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，

对于，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故错误；

对于，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故正确．

故选：．

4．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行排除即可.

【解析】函数的定义域为，

∵，则是偶函数，图象关于y轴对称，排除BC，当且x趋向0时，，排除D，

故选：A.

5．已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，给出下列命题：

①；②；③；④；

其中正确命题的序号是（       ）

A．①④ B．②③ C．①② D．③④

【答案】B

【分析】对于①或，对于②由垂直同一平面的两直线平行得，对于③由垂直同一直线的两平面平行得，对于④与异面或平行．

【解析】解：对于①，若，，则或，故①错误，

对于②，若，，则由垂直同一平面的两直线平行得，故②正确，

对于③，若，，则由垂直同一直线的两平面平行得，故③正确，

对于④，若，，且，则与异面或平行，故④错误．

故选：B．

6．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．

【解析】解：开关断开的概率为，开关断开的概率为，开关、至少一个断开的概率为，

开关、至少一个断开的概率为，

故灯不亮的概率为，

故灯亮的概率为，

故选：．

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的面积的最大值为（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知等式，可得，再结合余弦定理和基本不等式，推出，从而确定的范围，最后由，得解．

【解析】解：，

，化简得，即，

由余弦定理知，，

，

，

的面积．

故选：．

8．已知函数，（），若是偶函数且满足函数有一个零点，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数有一个零点，即方程，在，上只有一解，利用换元法，分类讨论，得到答案．

【解析】

，定义域为，，

也就是满足，

函数有一个零点，

方程，在，上只有一解

即：方程，在，上只有一解

令则，因而等价于关于的方程在，上只有一解

①当时，解得，，不合题意；

②当时，记，其图象的对称轴，

函数在上递减，而，

方程在，无解

③当时，记，其图象的对称轴，

所以，只需，即，此恒成立

此时的范围为

综上所述，所求的取值范围为．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得０分．）

9．下列命题中正确的是（       ）

A．若，则

B．已知，，若，则

C．已知，，若，则

D．命题“，都有成立”的否定是“，使成立”

【答案】BC

【分析】中，时得出；

中，利用基本不等式得出；

中，利用基本不等式；

中，根据全称量词命题的否定是存在量词，判断即可．

【解析】解：对于，当时，若，则，所以错误；

对于，，时，若，则，当且仅当时“”成立，选项正确；

对于，，时，若，则，当且仅当时“”成立，选项正确；

对于，命题“，都有成立”的否定是“，使成立”，所以选项错误．

故选：．

10．已知向量（2，1），（，1），则（       ）

A．

B．与向量共线的单位向量是（，）

C．

D．向量在向量上的投影向量是

【答案】AC

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，则有，故，正确；

对于，向量，，则与向量共线的单位向量是，或，，错误；

对于，，则，正确；

对于，向量在向量上的投影向量，错误；

故选：．

11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（       ）

A．若，则△ABC是等腰三角形

B．若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立

C．若，则△ABC为钝角三角形

D．若AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为或

【答案】BCD

【分析】对于．

．根据，可得，或，化简即可判断出正误；

．由是锐角三角形，可得，于是，化简即可判断出正误；

．由，可得，利用正弦定理与余弦定理化简即可判断出正误；

．由，，，设，由余弦定理可得：，化简解得，利用三角形面积计算公式计算得出，即可判断出正误．

【解析】解：对于．

．，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；

．是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；

．，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；

．，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．

综上可得：只有正确．

故选：．

12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（       ）

A．直线D1D与直线AF垂直

B．直线A1G与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为

D．点A1和点D到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【分析】结合面面平行的性质，以及直线与平面之间的关系，即可依次求解．

【解析】解：假设，

，且，，平面，

，

，

，显然不成立，故错误，

取的中点，连接，，如图所示：

由已知条件可得，，，且，，

平面平面，

平面，

平面，

连接，，如图所示：

，分别为，的中点，

，，

，，，四点共面，

截面即为梯形，延长，，交于点，

易知，，

，

，故正确，

建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面的法向量为

，

点到平面的距离为，点到平面的距离为，

点和点到平面的距离相等，故正确．

故选：．

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）

13．不等式的解集是________．

【答案】

【解析】不等式

∴，

解得：

14．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数________．

【答案】

【分析】由已知可得，然后将向量化简为，利用，，三点共线即可求解．

【解析】解：因为，则，

所以，

因为点，，三点共线，所以，则，

故答案为：．

15．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b，则的概率为________．

【答案】

【分析】利用列举法求出基本事件有16个，其中满足的基本事件有10个，由此能求出的概率．

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，

基本事件有：

，，，，，，，，，，

，，，，，，共16个，

其中满足的基本事件有：

，，，，，，共6个，

则的概率为．

故答案为：．

16．如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且．设E、F、G分别是棱AB、BC、C1D1的中点，过E、F、G的平面与AA1交于点H，则值为________；若四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为________．

【答案】；

【分析】作出过、、的平面与的交点，利用平行线性质即可求得答案；求得棱台的上下底面的棱长，以及侧棱长，判断外接球的球心的位置，列出等式，求得外接球半径，即可求得其表面积．

【解析】解：如图连接，并延长交延长线于，设的中点为，连接，，

则，而由题意可知，又，故，

故平面，而平面，故连接，交于，

点即为过、、的平面与的交点，

设为中点，连接，则，，因为为中点，

故，故，

因为，，则，所以；

设四棱台上底面棱长为，则下底面棱长为，

由四棱台的高2，体积为14，可得，

解得，

对于四棱台，，，所以，

则，故得，

即，由棱台的性质可知外接球球心位于对角面所在平面上，

故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面的外部，

设球心到面的距离为，则到面的距离为，是外接球半径为，

则，，解得，

故外接球的表面积为，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17．（10分）已知向量（，），（，），函数．

（1）求的单调增区间；

（2）设，若，求的值．

【分析】

（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得的解析式，根据正弦函数的单调性即可求得答案；

（2）由可求得，继而求得，再利用三角函数的二倍角公式求得，，从而将化为，即可求得答案．

【解析】

解：（1）由题意可知：，

故得到：．

再令．

得到，

所以单调增区间为．

（2）由第一问可知：．

则．

又由于，

故．

得到，

得到，

故，

解得，

所以得到：．

18．（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为B1D1的中点，．

（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；

（2）求证：DE∥平面ACB1；

（3）求三棱锥E−ACB1的体积．

【分析】

（1）利用正方体的几何性质可证明，结合，由线面垂直的判定定理可证明平面；

（2）连接，利用四边形是平行四边形，得到且，进一步证明四边形是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理证明即可；

（3）由平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，由等体积法求解体积即可．

【解析】

（1）证明：在正方体中，平面，

又平面，，

，，，平面，

平面；

（2）证明：连接，

在正方体中，且，

四边形是平行四边形，

且，

，分别为，中点，

，

四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面；

（3）由（2）得平面，

点到平面的距离即为点到平面的距离，

由等体积法可得，．

19．（12分）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．

（1）求p和q的值；

（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．

【分析】

（1）根据相互独立事件的乘法公式列式求解即可；

（2）分别求得甲2道、乙1道，甲1道，乙两道的概率，再求和即可．

【解析】

解：（1）设 “甲同学答对第一题”， “乙同学答对第一题”， （A），（B）．

设 “”， ．

因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以与相互独立，与互斥，

所以，

，

即，解得：．

（2）设 “甲同学答对了道题”， “乙同学答对了道题”， ，1，，，，，

设 “甲、乙两大共答对3道题”， ，

所以．

20．（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2 km，BC=4 km且△ACD为正三角形．

（1）若，求△ABD的面积；

（2）设．试用表示△ABD的面积，并求其最大值．

【分析】

（1）根据余弦定理求出，再根据面积公式代入数据即可解得；

（2）设正的边长为，，在中由正弦定理得，然后根据面积公式，表达出面积表达式，利用三角函数的知识对其求最值即可．

【解析】

解：（1）由余弦定理得，

解得或（舍去），

因为正，所以，

；

（2）设正的边长为，，

在中由正弦定理有，，

，，，

，

，故当时，面积最大，最大面积为．

21．（12分）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，SA=AB=BC=AD=1．

（1）求钝二面角C−SD−E的余弦值；

（2）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案；

（2）假设存在点，设，表示出的坐标，根据与平面所成角的大小为，利用向量的夹角公式计算，可得答案．

【解析】

（1）因为平面，，平面，

所以，，又，所以，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，2，，

，，，

设平面的法向量为，

则即

令，得，，

所以平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，

所以，

由图形可知，二面角的余弦值为．

（2）假设存在点，设，

则．

由（2）知，平面的一个法向量为，

则，

即，所以，

故存在满足题意的点，此时．

22．（12分）定义在（，1）上的函数满足对任意的x，y（，1），都有，且当（0，1）时，．

（1）求证：函数是奇函数；

（2）求证：在（，1）上是减函数；

（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．

【分析】

（1）通过，利用已知条件求解，令，求出，即可证明函数的奇偶性．

（2）利用函数单调性的性质，结合条件关系即可判断函数的单调性．

（3）判断函数的单调性，将恒成立问题进行转化，建立关于以为主变量的函数，进行求解即可．

【解析】

解：（1）令，则 ，

令，，，

，在上为奇函数

（2）证明：设，

则有，

，

，，，

，

，则，

即，

则，

在上是减函数．

（3）由（2）知该函数是奇函数，

由，

得，

设，则，，，则，

又，

所以，

所以，则，有，此时函数为减函数，

则当，时，函数的最大值为，

若对所有，，，恒成立，

则等价为对，恒成立，

即，

设（a），

对，恒成立，

，即，

即，

解得或或．