山东省青岛市崂山区重点中学2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．二次函数的图象如图所示，则下列各式中错误的是（   ）

A．abc＞0 B．a+b+c＞0 C．a+c＞b D．2a+b=0

2．若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（　　）

A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜1

3．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

4．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：

在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.4

5．在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．30°

7．一、单选题

在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

8．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（  ）

A． B． C． D．

9．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）

A．14 B．7 C．﹣2 D．2

10．下列说法：

四边相等的四边形一定是菱形

顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

对角线相等的四边形一定是矩形

经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有　　个．

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为_____．

12．的算术平方根是_____．

13．若am=5，an=6，则am+n=________．

14．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____．

15．已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用、 表示）．

16．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为______．

17．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1的个位数字是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒，那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？

19．（5分） (1)解方程： +＝4

(2)解不等式组并把解集表示在数轴上：.

20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，连接AC，请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABC∽△CDE．（保留作图痕迹不写作法）

21．（10分）已知：如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：BE=DF.

22．（10分）定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”．已知二次函数y=ax2-2mx+c（a，m，c均为常数且ac≠0）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c=-1，该二次函数图象与y轴交于点C，且S△ABC=1．

①求a的值；

②当该二次函数图象与端点为M（-1，1）、N（3，4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围．

23．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．

24．（14分）计算： +（）﹣2﹣|1﹣|﹣（π+1）0.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
根据二次函数的图象与性质逐一判断即可．

【详解】

解：由图象可知抛物线开口向上，

∴，

∵对称轴为，

∴，

∴，

∴，故D正确，

又∵抛物线与y轴交于y轴的负半轴，

∴，

∴，故A正确；

当x=1时，，

即，故B错误；

当x=-1时，

即，

∴，故C正确，

故答案为：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数各系数的意义以及二次函数的图象与性质．

2、C

【解析】
将关于x的一元二次方程化成标准形式，然后利用Δ>0，即得m的取值范围.

【详解】

因为方程是关于x的一元二次方程方程，所以可得,Δ＝4+4m > 0，解得m>﹣1,故选D.

【点睛】

本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键.

3、A

【解析】
根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．

【详解】

如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．

故选A．

点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．

4、B

【解析】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．

【详解】

在这组数据中出现次数最多的是1.1，即众数是1.1．

要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1，所以中位数是1.1．

故选B．

【点睛】

本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．

5、C

【解析】

：∵点的横纵坐标均为负数，∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，故选C

6、B

【解析】

分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．

详解：∵AB∥CD，

∴∠C=∠ABC=30°，

又∵CD=CE，

∴∠D=∠CED，

∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，

∴∠D=75°．

故选B．

点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．

7、C

【解析】
由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．

【详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．

故选C．

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

8、D

【解析】

试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D．

考点：D.

9、D

【解析】
解不等式得到x≥m+3，再列出关于m的不等式求解.

【详解】

≤﹣1，

m﹣1x≤﹣6，

﹣1x≤﹣m﹣6，

x≥m+3，

∵关于x的一元一次不等式≤﹣1的解集为x≥4，

∴m+3=4，解得m=1．

故选D．

考点：不等式的解集

10、C

【解析】
∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；

∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；

∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；

∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；

其中正确的有2个，故选C．

考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=1，根据OA=OB可得答案．

【详解】

如图，

∵双曲线y=（x＞0）经过点D，

∴S△ODF=k=，

则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，

∴OA•BE=1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴OB•BE=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．

12、

【解析】

∵=8，（）2=8，

∴的算术平方根是.

故答案为：.

13、1．

【解析】
根据同底数幂乘法性质am·an=am+n,即可解题.

【详解】

解：am+n= am·an=5×6=1.

【点睛】

本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.

14、

【解析】
设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．

【详解】

∵△BCD∽△BAC，

∴=，

设AB=x，

∴22=x，

∵x＞0，

∴x=4，

∴AC=AD=4-1=3，

∵△BCD∽△BAC，

∴=＝，

∴CD=．

故答案为

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．

15、

【解析】
根据向量的三角形法则表示出，再根据BC、AD的关系解答．

【详解】

如图，

∵，，

∴=-=-，

∵AD∥BC，BC=2AD，

∴==（-）=-．

故答案为-．

【点睛】

本题考查了平面向量，梯形，向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键．

16、1

【解析】

解：根据题意可得x1+x2==5，x1x2==2，∴x1+x2﹣x1x2=5﹣2=1．故答案为：1．

点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1x2=是解题的关键．

17、1

【解析】
观察给出的数，发现个位数是循环的，然后再看2019÷4的余数，即可求解．

【详解】

由给出的这组数21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝1，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，

个位数字1，3，1，5循环出现，四个一组，

2019÷4＝504…3，

∴22019﹣1的个位数是1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查数的循环规律，确定循环规律，找准余数是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）最多可以购进1筒甲种羽毛球．

【解析】
（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过2550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．

（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，

依题意，得：60m+45（50﹣m）≤2550，

解得：m≤1．

答：最多可以购进1筒甲种羽毛球．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

19、（1）x=1（2）4＜x≤

【解析】
（1）先将整理方程再乘以最小公分母移项合并即可；

（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

【详解】

（1）+=4，

方程整理得： =4，

去分母得：x﹣5=4（2x﹣3），

移项合并得：7x=7，

解得：x=1；

经检验x=1是分式方程的解；

（2）

解①得：x≤

解②得：x＞4

∴不等式组的解集是4＜x≤，

在数轴上表示不等式组的解集为：

．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程组与分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与分式方程运算法则.

20、详见解析

【解析】
利用尺规过D作DE⊥AC，，交AC于E，即可使得△ABC∽△CDE．

【详解】

解：过D作DE⊥AC，如图所示，△CDE即为所求：

【点睛】

本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

21、（1）证明：∵ABCD是平行四边形

∴AB=CD         

 AB∥CD        

∴∠ABE=∠CDF      

又∵AE⊥BD，CF⊥BD

∴∠AEB=∠CFD=

∴△ABE≌△CDF   

∴BE=DF

【解析】

证明:在□ABCD中

∵AB∥CD

∴∠ABE=∠CDF…………………………………………………………4分

∵AE⊥BD   CF⊥BD

∴∠AEB=∠CFD=900……………………………………………………5分

∵AB=CD

∴△ABE≌△CDF…………………………………………………………6分

∴BE=DF

22、 (1) ac＜3；(3)①a=1；②m＞或m＜．

【解析】
（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；
（3）由c=-1，得到p3＝，a＞3，且C（3，-1），求得p＝±，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，根据M（-1，1）、N（3，4）．得到这些MN的解析式y＝x+（-1≤x≤3），联立方程组得到x3-3mx-1=x+，故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，根据题意得到（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3，（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：列方程组即可得到结论．

【详解】

（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），
把A、B坐标代入解析式可得：

，
∴3ap3+3c=3．即p3＝−，
∴−≥3，
∵ac≠3，
∴−＞3，
∴ac＜3；
（3）∵c=-1，
∴p3＝，a＞3，且C（3，-1），
∴p＝±，
①S△ABC=×3×1=1，
∴a=1；
②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，
∵M（-1，1）、N（3，4）．
∴MN：y＝x+（-1≤x≤3），
依题，只需联立在-1≤x≤3内只有一个解即可，
∴x3-3mx-1=x+，
故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，
建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，
∵△=（3m+）3+11＞3且c=-＜3，
∴抛物线y＝x3−(3m+)x−与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴．
不妨设方程x3−(3m+)x−＝3的两根分别为x1，x3．（x1＜x3）
则x1+x3＝3m+，x1x3＝−
∵方程x3−(3m+)x−＝3在-1≤x≤3内只有一个解．
故分两种情况讨论：
（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3：则

．即：，
可得：m＞．
（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：则

．即：，
可得：m＜，
综上所述，m＞或m＜．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形面积公式，正确的理解题意是解题的关键．

23、（1）k=10，b=3；（2）.

【解析】

试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.

试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10

把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3

(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5

考点：一次函数与反比例函数的综合问题.

24、

【解析】
先算负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简、绝对值，再相加即可求解；

【详解】

解：原式

【点睛】

考查实数的混合运算，分别掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简、绝对值的计算法则是解题的关键.