广东省六校2023届高三数学上学期第一次联考试题（Word版附答案）

2023届六校第一次联考

数学试题

满分：150分。考试时间：120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

2．设复数，其中i是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中错误的是（       ）

A． B．

C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3

3.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（       ）附：若，则，

A． B． C． D．

5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．直线是图象的一条对称轴

B．图象的对称中心为，

C．在区间上单调递增

D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

6．中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

7．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

8．定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（       ）

A．14 B．12 C．10 D．8

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A､存在如下关系：.王同学连续两天在某高校的甲､乙两家餐厅就餐，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（       ）

A．第二天去甲餐厅的概率为0.54

B．第二天去乙餐厅的概率为0.44

C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为

D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为

10.已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（     ）

A．是的一个周期

B．函数的值域为

C．函数在上单调递减

D．函数在内有4个零点

11．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为

C．为定值 D．的取值范围为

12．如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（       ）

A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为

B．满足的点P的轨迹长度为

C．不存在点P，使得平面AMP经过点B

D．存在点P满足

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项是________．

14．如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________．

15．已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为A，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为____________．

16．若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．

(1)求角B的大小；

(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线AM的长．

①的面积为；

②的周长为．

18．已知数列的前n项和为，且满足，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.

19．如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．

(1)证明：平面平面EBCD；

(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.

20.足球是一项大众喜爱的运动。2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?

（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（i）求（直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

21．椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.

22．已知函数

(1)求证：；

(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．

2023届六校第一次联考数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.40       14.8           15. 16.

17.解：(1)∵，则由正弦定理可得，………………………1分

∴，………………………3分

∵，∴，，………………………4分

∴，解得．………………………5分

(2)若选择（1），由（1）可得，即………………………6分

则，解得，………………………8分

则由余弦定理可得．…………………10分

若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，………………………6分

则由正弦定理可得，，

则周长，解得，则，，………………………8分

则由余弦定理可得．……………………10分

18.解：（1）当时，由且得……………1分

当时，由得，所以.……………2分

所以，，………………………3分

又当时，，适合上式.………………………4分

所以..………………………5分

（2）因为，，所以，………………………6分

又，所以.………………………7分

所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.………………………8分

故数列的前2n项的和，

………………………11分

所以数列的前2n项和为.………………………12分

19.解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴………………………1分

，，，∴，，

在中，知，∵，∵，

∴∴，………………………2分

又EC，面EBCD，，∴面EBCD………………………3分

∵面，∴面面EBCD………………………4分

(2)由（1）知面EBCD，

∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系………………………5分

∴，，，

设∵，∴，∴，∴………………………6分

设是面CEP的法向量，

∴，∴，令，

∴，，………………………8分

设是面DEP的法向量，

∴，∴，∴

令，∴，。………………………10分

设平面与平面夹角为，则………………………11分

∴平面与平面夹角的余弦值为………………………12分

20.解：（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．………………………1分

根据列联表数据，经计算得

………………………3分

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．………………………4分

（2）（i）由题意． ………………………5分

（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，

第次触球者不是甲的概率为，

则，………………………7分

从而，………………………8分

又，是以为首项，公比为的等比数列． ………………………9分

则，………………………10分

∴，，

，故第19次触球者是甲的概率大．………………………12分

21.解：(1)椭圆经过点，………………………1分

椭圆的离心率为，则，即………………………2分

即，解得，………………………3分

所以椭圆的方程为.………………………4分

(2)当直线斜率不存在时，方程为，

直线过中点，即为轴，得，，………………5分

当直线斜率存在时，设其方程为，，

联立可得则①

②，        ③………………6分

以为直径的圆过原点即

化简可得，

代入②③两式，整理得即④………………7分

将④式代入①式，得恒成立则………………8分

设线段中点为，由，不妨设t>0,得，

又∵，∴………………9分

又由，则点坐标为，

化简可得，代回椭圆方程可得即………………10分

则，………………11分

综上，四边形面积的最大值为.………………12分

22.解：(1)要证明，只要证明

设，………………………1分

则，………………………2分

令，则；令，则，

所以在上单调递减，在单调递增，………………………3分

所以，即，

即，即．………………………4分

(2)由题可得，

令，则，………………………5分

①当时，，在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，………………………6分

②当时，在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．………………………7分

③当时，由，可得，

∴，在上单调递增，，在上单调递减；………………………8分

由（1）知：．

所以当时，．

取，则，且．………………………9分

又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，……………10分

所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．………………………11分

综上，实数a的取值范围为．………………………12分