云南省大理州祥云祥华中学2022-2023学年高二上学期阶段性测评卷（一）数学试题（Word版含答案）

阶段性测评卷（一）

高二数学

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是 （       ）

A． B． C．  D．

2．若直线与直线互相垂直，则的值为（       ）

A． B． C．0或 D．1或

3．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

4．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A．（－4，4） B．（－2，2）

C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．

5．已知直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，则实数a＝（       ）

A． B． C． D．

6．过点的直线l与圆相交于M、N两点，且线段，则直线l的斜率为（       ）

A． B． C． D．

7．的值为（     ）

A． B． C． D．

8．《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中， 平面，，且，则四面体外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．已知圆：和圆：则（       ）

A．两圆相交 B．公共弦长为

C．两圆相离 D．公切线长

10．设，非零向量，，则（       ）

A．若，则 B．若，则

C．存在，使 D．若，则

11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．的最小值为

C．平面

D．异面直线与，所成角的取值范围是

12．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则△为等边三角形

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知长方体中，，，E为的中点，则异面直线BE与所形成角的余弦值为___________.

14．在中，若，则________.

15．在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．

16．在四面体ABCD中，，，，且，则几何体ABCD的外接球的体积为______.

四、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知直线经过两点，．

(1)若a＝1，求直线AB的斜截式方程；

(2)求当斜率最大时，直线AB的一般式方程．

18．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.

（1）求点到直线的距离；

（2）求直线到平面的距离.

19．已知两条直线，．

(1)证明直线过定点，并求出该定点的坐标．

(2)若，不重合，且垂直于同一条直线，求a的值．

(3)从①直线l过坐标原点，②直线l在y轴上的截距为2，③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答．

若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程．

20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

21．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．

(1)若，求的值；

(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．

22．在①且，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．

问题：锐角的内角的对边分别为，且_________．

(1)求A；

(2)求的最大值．

阶段性测评卷（一）

高二数学参考答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．D【详解】因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故A错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；

因为，，，为不共面向量，所以能构成基底，故D正确；

故选：D

2．D【详解】，

，即，

解得或.

故选：D．

3．A【详解】依题意可得圆锥的体积，

又（其中h为圆锥的高），则cm，

则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．

故选：A．

4．D【详解】由题设，圆心为，半径为2，

因为直线与圆没有公共点，

所以，可得或.

故选：D

5．C【详解】直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，即圆心（0，-4）到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到化简得到a=.

故答案为C.

6．A【详解】解：设圆心到直线的距离为，直线的方程为：，即，

因为，所以

因为圆的圆心坐标为，

所以

故选：A

7．B【详解】依题意

.

8. D【详解】由题意可知四面体如图所示，

则面体外接球的半径为，

所以四面体外接球的表面积为.

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．AB【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为

圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为

所以两圆心的距离：，

两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为L，则有：

，选项B正确，选项D错误.

故选：AB

10．ABD【详解】对于A，，而，因为，

所以得，（舍去），，所以，

，所以，，故A正确；

对于B，当时，，，所以；故B正确；

对于C，若，则，且，

因此，显然，

故C不正确；

对于D，若，则，则解得（舍）或，则，即，故D正确.

故选：ABD.

11．ABC【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；

因为是线段上一动点，所以 ，所以，所以，当且仅当时，故B正确；

设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；

设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；

故选：ABC

12．ACD【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；

B：当时，有，错误；

C：，而，即，由正弦定理易得，正确；

D：如下图，是单位向量，则 ，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.

故选：ACD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【详解】解：如图所示：

因为，

所以是异面直线BE与所成的角或其补角.

由题意可知，，，，

所以.

故答案为：

14．60°【详解】由余弦定理的推论得

，

，.

故答案为：60°

15．【详解】由正弦定理得：

若有两解：

故答案为

16．【详解】因为，，，所以，故。

因为，故，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2.

故几何体ABCD的外接球的体积为.

故答案为：

四、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）当a＝1时，A（3，2），又B（－1，－5），

所以，

所以直线AB的点斜式方程为，

则斜截式方程为．

（2）因为，，

所以，

当，即a＝0时，取得最大值2，

此时直线AB的点斜式方程为，

一般式方程为2x－y－3＝0．

18．以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，，， .

（1）取，，则.

所以，点到直线的距离为.

（2）因为，所以，所以平面.

所以点到平面的距离为直线到平面的距离.

设平面的法向量为，则

所以  所以

取，则.所以，是平面的一个法向量.

又因为，所以点到平面的距离为.

即直线到平面的距离为.

19．（1）∵变形为，

∴直线过定点，定点的坐标为．

（2）∵，不重合，且垂直于同一条直线，∴，

∴，∴．

（3）方案一：选条件①．

∵，∴直线，其斜率为2，

又直线l与垂直，∴直线l的斜率为．

∵直线l过坐标原点，

∴直线l的方程为，即．

方案二：选条件②．

由题意设直线l的方程为，

令，则，则，即，

∴直线l的方程为．

方案三：选条件③．

由题意设直线l的方程为，

令，则，令，则，

∴，解得，

∴直线l的方程为．

20．依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

21．(1)解：圆的圆心为，到直线的距离为，

，可得，解得.

(2)解：将代入圆О方程，并整理得，

则，设点、，

由韦达定理，．

，所以，，同理，

于是（定值）.

(3)解：注意到，设直线的斜率为，则，即．

直线的方程为，直线的方程为的交点满足，

即，解得，故直线、交点必在定直线上．

22(1)若选①．

若选②

,

， .

若选③，由正弦定理得，

，

即，又.

(2)在三角形中，由正弦定理：，

由余弦定理：，

，

又，，当b=c=4等号成立

.故最大值为

整体难度：一般

考试范围：空间向量与立体几何,平面解析几何,三角函数与解三角形,平面向量,等式与不等式

一、单选题

1 0.85  空间向量基底概念及辨析；

2 0.85  由一般式方程判断直线的垂直；

3 0.85  圆锥表面积的有关计算；柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算；

4 0.85  由直线与圆的位置关系求参数；

5 0.85  由直线与圆的位置关系求参数；

6 0.65  已知圆的弦长求方程或参数；

7 0.65  三角函数的化简、求值——诱导公式；逆用和、差角的正弦公式化简、求值；

8 0.65  多面体与球体内切外接问题；

二、多选题

9 0.85  判断圆与圆的位置关系；两圆的公共弦长；

10 0.85  二倍角的正弦公式；由向量共线（平行）求参数；向量垂直的坐标表示；

11 0.65  求异面直线所成的角；空间位置关系的向量证明；

12 0.4  逆用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；平面向量数量积的几何意义；向量在几何中的其他应用；

三、填空题

13 0.85  余弦定理解三角形；求异面直线所成的角；

14 0.85  余弦定理解三角形；

15 0.65  正弦定理判定三角形解的个数；

16 0.65  多面体与球体内切外接问题；

四、解答题

17 0.85  已知两点求斜率；直线的点斜式方程及辨析；直线的斜截式方程及辨析；直线的一般式方程及辨析；

18 0.85  点到平面距离的向量求法；点到直线距离的向量求法；

19 0.65  已知直线平行求参数；由两条直线垂直求方程；直线过定点问题；

20 0.65  空间向量垂直的坐标表示；线面角的向量求法；面面角的向量求法；

21 0.65  已知圆的弦长求方程或参数；直线与圆中的定点定值问题；

22 0.65  三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；基本不等式求积的最大值；