江苏省高邮市第一中学2022-2023学年高二上学期阶段测试（一）数学试题（含答案）

高邮市第一中学2022-2023学年度第一学期高二阶段测试（一）

数  学

一、单项选择题：

1.过点且倾斜角为的直线方程为（    ）

A.   B.    C.   D.

2.已知直线，当时，a的值为（    ）

A. 1 B.    C. 或1     D.

3.“”是“方程为椭圆”的（    ）

A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件   C. 充要条件         D. 既不充分也不必要条件

4.直线l分别交x轴和y于A、两点，若是线段AB的中点，则直线l的方程为（    ）

A.  B.     C.   D.

5.若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A.           B.           C.          D.

6.古希腊数学家阿波罗尼奧斯约公元前公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点P轨迹与圆位置关系是（    ）

A. 外离               B. 外切    C. 相交      D. 内切

7.已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是（    ）

A.       B.   C.  D.

8.在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝9引切线，记切线长分别为d1，d2．则d1＋d2的最小值为（    ）

A.2                 B.3              C.4             D.5

二、多项选择题：

9.已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

10.已知圆和圆的公共点为A，B，则（    ）

A.    B. 直线AB的方程是  C.   D.

11.  在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则一定是等腰三角形

B. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

C. 若，则为钝角三角形

D. 若不是直角三角形，则

12.下列结论正确的是（    ）

A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，直线m的方程是，则m与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是

三、填空题：

13. 求值=___________.

14.若，则_______________.

15.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为__________.

16.已知、为圆上的两点，且，设为弦AB的中点，则的最小值为__________.

四、简单题：

17. 已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的

求直线l的方程；

若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．

18. 已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上.

求圆C的方程；

已知直线与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值.

19. 求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1)经过两点(2，－)，；

(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

20. 已知函数，.

（1）设集合，求集合A；

（2）当时，求的最大值和最小值.

21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面.

（1）求证：侧面；

（2）当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角平面角的正切值.

22. 圆

若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

求圆心C的轨迹方程；

已知，圆C与x轴相交于两点M、点M在点N的左侧过点M任作一条直线与圆相交于两点A、问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.

阶段测试（一）参考答案

1.过点且倾斜角为的直线方程为(    )

A.  B.
C.  D.

解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以直线方程为，即，故选：

2.已知直线，当时，a的值为(    )

A. 1 B.  C. 或1 D.

解：由直线，，，

，得故选： 

3.“”是“方程为椭圆”的   

A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件   C. 充要条件         D. 既不充分也不必要条件

解：若方程为椭圆方程，
则，解得：，且，
若，当时， 为圆.
故“”是“方程为椭圆方程”的必要不充分条件，故选

4.直线l分别交x轴和y于A、两点，若是线段AB的中点，则直线l的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

解：直线l分别交x轴和y于A、两点，设点，，

因为是线段AB的中点，由中点坐标公式得解得

所以点，，则直线l的方程为，化简得故选：

5.若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是.(    )

A.  B.
C.  D.

解：由题意得圆心为，半径为

圆心到直线的距离为，

由直线与圆有公共点可得，即，解得

实数a取值范围是故选：

6.古希腊数学家阿波罗尼奧斯约公元前公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点P轨迹与圆位置关系是.(    )

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

解：设，由，得，整理得，

表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为，半径，

两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交.故选：

7.已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

解：因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，

因为的图象向右平移1个单位得到的图象，

则的图象关于直线对称，

又因为在区间，上单调递增，所以在区间上单调递减，

所以的函数值越大，自变量与1的距离越大，

的函数值越小，自变量与1的距离越小，

所以不等式等价于，两边平方，解得，即不等式的解集为．故选：A．

8.在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝9引切线，记切线长分别为d1，d2．则d1＋d2的最小值为（    ）

A.2                 B.3              C.4             D.5

8.选：D.

二、多项选择题：

9.已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是.(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

解：若直线过原点，则，解得；

若直线不过原点，则在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，则，可得，

综上，a的值可能是1或故选：

10.已知圆和圆的公共点为A，B，则.(    )

A.  B. 直线AB的方程是
C.  D.

解：圆的圆心是，半径，圆，圆心，半径，

，故A正确；

两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得，故B正确；

，，，，所以不正确，故C不正确；

圆心到直线的距离，，故D正确. 故选：

11.  在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则一定是等腰三角形

B. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

C. 若，则为钝角三角形

D. 若不是直角三角形，则

解：A：由正弦边角关系有，则，则中或，错误；

B：由，则，可得，故，满足条件的三角形有一个，正确；

C：，即，故不一定为钝角三角形，错误；

D：由不是直角三角形且 ，则 ，所以，正确；故选：BD

12.下列结论正确的是.(    )

A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，直线m的方程是，则m与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是

解：对于A，直线方程为，也满足在两个坐标轴上截距相等，故A错误；

对于B，直线可化为，所以直线恒过定点，，直线与线段相交，所以或，故B错误；

对于C，圆心到直线的距离，而点是圆外一点，所以

，所以，所以直线与圆相交，故C正确;

对于D，与点的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确. 故选：

13. 求值=___________.

解：原式. 故答案为：.

14．若，则_______________.

解：设，则，故，故，

则

15.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为__________.

解：直线，点关于的对称点为，

又点关于直线的对称点为，直线，

设，则，解得，即故答案为：

16.已知、为圆上的两点，且，设为弦AB的中点，则的最小值为__________.

解：根据题意，、，且为弦AB的中点，

则，则有，

变形可得：，

又由、为圆上的两点，则，；

则有，即点P的轨迹方程为圆，

则，

其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，

又由圆的圆心到直线的距离，

则圆上一点到直线的距离的最小值为，

即的最小值为，

故，即的最小值为 故答案为：

17.已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的

求直线l的方程；

若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．

解：直线的倾斜角为，直线l的倾斜角为，斜率为，

又直线l过点，直线l的方程为，即

设直线m的方程为，则点P到直线m的距离

，解得或

直线m的方程为或

18.已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上.

求圆C的方程；

已知直线与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值.

解：由题意可得，圆心为，半径为则圆的方程为

 圆心到l的距离为d，，

19.求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1)经过两点(2，－)，；

(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

解　(1)方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

由已知条件得解得则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．

综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二　(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

将两点(2，－)，代入，得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)方法一　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.

设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①

又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②

由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二　设椭圆方程为＋＝1(m>－9)，

将(，－)代入方程，解得m＝－5，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

20.已知函数，.

（1）设集合，求集合A；

（2）当时，求的最大值和最小值.

解：（1）由，得，

即，则，求得．，；

（2）．

，，，当时，，

当时，．故的最大值为，最小值为．

21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面.

（1）求证：侧面；

（2）当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角平面角的正切值.

解（1）因为是等腰三角形且，M为PD的中点，所以，因为侧面，且底面，

所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面，所以，

因DC，侧面，且，所以侧面.

（2）连接AC，过O作，交于点N，因为是正方形，所以，所以，

又因为底面，底面，所以，又平面，，

所以平面，又平面，所以，所以，不妨设等边三角形的边长为2，则，，所以在直角三角形中，.

22.圆

若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

求圆心C的轨迹方程；

已知，圆C与x轴相交于两点M、点M在点N的左侧过点M任作一条直线与圆相交于两点A、问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.

解：由圆C与x轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.

故先将圆C的方程化成标准方程为：，

由，整理可得，解得，

即可得到所求圆C的方程为，即

设圆心C点坐标为，则，消去参数a得，

因此，圆心C的轨迹方程为

在圆C的方程中，令，得，即，

，且点M在点N的右侧，所以点、，

假设存在实数a，当直线AB与x轴重合时，A、B、N、M四点共线，则成立；

当直线AB与x轴不重合时，

设直线AB的方程为，设点、，

联立，消去x并整理得，

，

由韦达定理得，，

，所以直线AN、BN的斜率互为相反数，

即

恒成立，

所以，，解得

综上所述，存在，使得