安徽省宣城市三校2022-2023学年高二上学期期初联考数学试题（Word版含答案）

2022~2023学年度第一学期宣城市三校高二年级期初联考

数学试题

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：必修第一册，必修第二册.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都相同.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，击中3次的概率：先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：

据此估计，该射击运动员射击3次击中3次的概率约为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.在中，角所对的边分别为，则的值等于（    ）

A.    B.    C.    D.

5.关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.函数的零点个数为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

7.如图，在中，为的中点，，则（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

8.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于任意两个向量，下列命题中正确的是（    ）

A.    B.

C.若，则    D.

10.甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ）

A.小明得6分的概率为

B.小明得分低于6分的概率为

C.小明得分不少于3分的概率为

D.小明恰好得3分的概率为

11.关于函数，下列说法中错误的是（    ）

A.其表达式可写成

B.曲线关于点对称

C.在区间上单调递增

D.，使得恒成立.

12.若点在棱长为2的正方体的表面运动，点为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）

A.当点在底面内运动时，三棱锥体积不变

B.当点在底面内运动时，点到平面的距离不变

C.当直线与直线所成的角为时，线段长度的最大值为3

D.当直线与直线所成的角为时，点的轨迹长度为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设（其中为虚数单位），则__________.

14.已知幂函数的图象过点，则__________.

15.已知点在的边上，的面积为，则__________.

16.设的定义域为，且满足，若，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17.在中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

18.某班20位女同学平均分为甲､乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）：

甲组：

乙组：

（1）试分别计算两组数据的极差和方差；

（2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？

19.如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.

20.读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；

（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；

（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.

（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）

21.如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，

（1）当时，求及；

（2）当四边形的面积取最大值时，求的面积.

22.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.

（1）证明：平面平面；

（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由.

2022~2023学年度第一学期宣城市三校高二年级期初联考·数学

参考答案､提示及评分细则

1.B  由，则.

2.A  对于A：若，得，则，反之不行，所以是成立的充分不必要条件；对于，所以是成立的充要条件；

对于C：取，得不是的充分条件；

对于D：取，得不是的充分条件.故选A.

3.C  射击3次数击中3次共11组，所求概率为.

4.B  ，解得.则

5.D  ①当时，，不等式显然成立；②当时，可得，此时不等式恒成立.由上知的取值范围为.

6.C  由，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，函数和恰有3个交点，即函数有3个零点，故选.

7.C，，故.

8.A  该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示，，

可得，故.

9.AD

10.BD  设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中模出一个红球”为事件，

则，且独立.

在A中，概率为，A错误；

在B中，概率为，B正确；

在中，概率为错误；

在D中，概率为，D正确.

11.ABD，所以A不正确；当时，有，所以不正确；当时，有，因为，所以C正确；的最小正周期，若，使得恒成立，说明是的一个周期，而，与“最小正周期为”矛盾，因此不正确.

12.BC  对于，易知，面积不变，到平面距离改变，改变，故A错误；

对于，点在底面内运动时，平面平面到平面的距离不变，故B正确；

对于，分别取中点，连接，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等，是平行四边形，在同一平面内，正方形，易得，所以，所以（为的交点），所以，又平面平面，所以，平面，所以平面，而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点），是矩形，当与重合时，最大，且最大值为，故C正确；

对于，当直线与直线所成的角为时，连接，在正方形

内，以为圆心，2为半径作圆弧，易证点轨迹就是曲边三角形

（除去点），其周长为.故D错误.

13.  .

14. 

15.  为等边三角形，，

由，得，则，

作交于，在等边中，，

则，

在Rt中，，

在中，由正弦定理得.

16.2024  因为，所以，

由，得，有，可得，有，又由，可得，可知函数的周期为4，可得，有，

因为，所以

由得，

所以，

即，

所以

所以.

故.

17.解：（1），由正弦定理，得.

（2）由余弦定理得，即，解得.

18.解：（1）甲组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），

平均数为（分），

方差为

乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），

平均数为（分），

方差为

（2）由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定.

19.解：（1）设为的中点，连接.

则，

又平面平面，

所以平面平面，

因此平面平面，

从而平面；

（2）由（1）知，是异面直线与所成角，所以.

在Rt中，因为，所以

因此.

20.（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，

设女生一周阅读时间的75%分位数为，，

解得；

（2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数

由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数

所以估计总样本的平均数

（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，

女生有（人）

若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，

女生有5人，记为，，，，，

则样本空间，

共有15个样本点.

记事件“恰好一男一女”，则，共有5样本点

故所求概率.

21.（1）在中，，，

由余弦定理得，

所以.

因为，所以，

由正弦定理得，即，解得，

因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以且，

所以，

在中，由余弦定理得；

（2）由（1）得，

，此时，，且，

当时，四边形的面积最大，即，此时，，

所以，即.

的面积为.

22.（1）证明：因为，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，

（2）假设存在点满足题意，如图，过作于，

因为，所以∥，

由（1）知平面，所以平面，

因为平面，所以，

过作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以为二面角的平面角，

不妨设，则，

在中，设，

因为∽，

所以，

所以，得，

所以，解得，

即此时为的中点，

综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，