福建省建瓯市芝华中学2022-2023学年高三上学期暑期考试数学试题（Word版含答案）

高三暑期考试数学卷   

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分

1.设集合，则(　　)

A．     B．   C．   D．

2.设纯虚数z满足（其中i为虚数单位），则实数a等于(　　)

A．1       B．－1      C．2       D．－2

3.  已知a＝2，b＝log2，c=，则(　　)

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b   C．c＞b＞a  D．c＞a＞b

4.函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)

A.                     B.                    C.                      D. 

5.若向量，满足，，，则向量，的夹角为（）

A． B． C． D．

6.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)

A．－     B．－     C．   D．

7. 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，3)    B．(0，3)     C．(1，2) D．(0，2)

8. 定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（）

A. [1,+∞)    B. [1,2]  C. (1,2)  D. (1,+∞)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．与均为的最大值

10.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（）

A．2 B．0 C．1 D．

11.在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（　　）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数

B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数

C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立  D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为

12. 函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为A，B两点间距离，定义为曲线在点A与点B之间的“曲率”，给出以下命题：

①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；

②函数图像上两点A与B的横坐标分别为1,2，则 “曲率”；

③函数图像上任意两点A、B之间的“曲率”；

④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数t的取值范围是(－∞,1).其中真命题为（　　　　）

A.① B.② C. ③ D. ④

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________.

14. 设x∈R，则“log2x＜1”是“x2－x－2＜0”的____________条件．(从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择)．

15．已知函数，记（），若{an}是递减数列，则实数t的取值范围是____

16.设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；（2分）

若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．（3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（满分10分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝acos C＋c.

(1)求角A；

(2)若·＝3，求a的最小值．

18.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d＝2，S9＝99.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.

(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；

(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．

20.（本小题满分12分）

已知函数，，.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

21. 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.

（本小题满分12分）

22.已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若函数只有一个极值点，求实数的取值范围；

（3）若函数（其中）有两个极值点，分别为，，且在区间(0,+∞)上恒成立，证明：不等式成立.

参考答案

1【答案】D【解析】因为，所以.故选D.

2. 【答案】A【解析】本题考查的是复数运算．设，则，所以,．解得，故选A．

3【答案】D　∵0＜2－＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．

4【答案】C　【解析】方法一　函数g(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为：{x|x＞－1}，从而排除D；由g(x)＝|loga(x＋1)| ≥0，排除B；x＝0时，g(x)＝0，排除A．

方法二　由f(2)＝4，即2a＝4，得a＝2.先作出y＝log2x的图象，再将此函数图象向左平移1个单位，得函数y＝log2(x＋1)的图象，最后将此函数图象x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称进行翻折，即得g(x)＝|loga(x＋1)|的图象．

5【解析】，

即.故选：C

6【答案】D　【解析】因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.因为|θ|＜，所以θ＝.故选D.

7.B由条件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.故选B.

8【答案】.D【解析】考查函数：，

则：，

据此可得函数单调递增，

又，则不等式即：

，

则：，

即，

结合函数的单调性可得：恒成立，

当时，，

结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.

本题选择D选项.

9【答案】ABD

【解析】【解析】由是等差数列，是其前项的和，且，，

则，，，，

则数列为递减数列，即选项A，B正确，

由，即，即选项C错误，

由，可得与均为的最大值，即选项D正确，

故选：ABD. 

10【答案】BCD【解析】

由与恒过，如图，

当时，两函数图象恰有一个公共点，

当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，

由，所以，综上所述，或.故选BCD.

11【答案】AC【解析】解：由题可知，，，即正确；

在上为增函数，在上为减函数；在上为增函数，即错误；

，，，，即正确；

函数，则，

令，则；令，则，

函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，为，

又当即，时，，所以函数的最大值为，即错误．故选．

12【答案】ＡＣ

【解析】因当时，，曲率为，是常数,故①是正确的；又因当时,,故,所以②是错误的；因，故,所以,故③正确成立；

因,故,所以,所以④是错误的.故选ＡＣ．

13【答案】7　【解析】由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A＞0，故A＝＝7.

14【答案】充分不必要　

【解析】由log2x＜1，解得：0＜x＜2，x2－x－2＜0解得－1＜x＜2，∴“log2x＜1”是“x2－x－2＜0”的充分不必要条件．

15【答案】

【解析】由题得在单调递减，则有，解得，同理在单调递减，则有，又函数在时单调递减，则有，解得，故.

16【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

17【答案】解　(1)∵△ABC中，b－acos C＝，

∴由正弦定理知，sin B－sin Acos C＝sin C，

∵A＋B＋C＝π，

∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

∴sin Acos C＋cos Asin C－sin Acos C＝sin C，

∴cos Asin C＝sin C，∴cos A＝，∴A＝.

(2)由(1)及·＝3得bc＝6，

所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－6≥2bc－6＝6，当且仅当b＝c时取等号，所以a的最小值为.

18【答案】解　(1)因为等差数列{an}中，d＝2，S9＝99，所以S9＝9a1＋×2＝99，解得a1＝3，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.

(2)∵bn＝＝

＝(－)，

∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)

＝.

19【答案】解　∵f(x)的最小正周期为π，即T＝＝π，∴ω＝2，

∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ，k∈Z，

∵0<φ<，∴φ＝.

(2)f(x)的图象过点时，

有sin＝，即sin＝.

∵0<φ<，∴<＋φ<π，∴＋φ＝，φ＝.

∴f(x)＝sin.

令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－ ≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

20【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）.

【解析】（1）的定义域为，，

当时，，

所以在上单调递增，无极值点；

当时，解得，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数有极大值点，为，无极小值点.

（2）由条件可得恒成立，

则当时，恒成立，

令，则，

令，

则当时，，所以在上为减函数.

又，所以在上，；在上，.

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，所以.

21. 解析　(1)当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.

又a1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为an=n.

(2)由(1)知an=n,所以bn=2n+(-1)nn.

记数列{bn}的前2n项和为T2n,

则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).

记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,

则A==22n+1-2,

B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.

故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.

22.【答案】（1）（2）（3）证明见解析[来源:学*科*网Z*X*X*K]

【解析】（1）因为，所以，令，得，

而，函数在点处的切线方程为.

（2）函数，其的定义域为，

，因为只有一个极值点，

故在上只有一个根，即在上只有一个根，

则，解得，

又当时，；当时，，

∴是在上的唯一一个极值点，此时

（3）由（2）可知，，

而

[来源:学*科*网]

于是，令，则

∵，∴，∴在上单调递减，

∴，∴成立.