2022年黑龙江省齐齐哈尔市建华区、克东县中考数学三模试卷（含解析）

2022年黑龙江省齐齐哈尔市建华区、克东县中考数学三模试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列交通标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 小小同学利用张形状、大小，材质完全相同的卡片进行数字卡片游戏卡片上分别标有等个数字小小每次随机抽取两张卡片，两张卡片上所标数字之和为偶数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 当时，化简结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

7. 如图，的半径为，是弦，于点，将劣弧沿弦折叠交于点，若，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 据统计，年我市某县的绿色食品土豆的产量比年增长假定年的平均增长率保持不变，年和年土豆的产量分别为万千克和万千克，则能体现与关系的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度与注水时间之间的函数关系图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，函数的图象过点、点、点，对称轴为下列结论：；；；，其中正确结论的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本题共7小题，共21分）

11. 截至北京时间月日时分，全球新冠肺炎确诊病例上升至例，将数字用科学记数法表示为______．
12. 如图所示，在和中，，，，在同一条直线上．已知，，请你添加一个适当的条件______ ，使≌只需添加一个即可
13. 如图，已知矩形纸片，，，以为圆心，长为半径画弧交于点，将扇形剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______．
14. 小聪同学在计算一组数据、、、、的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的为______．
15. 如图，矩形的顶点、在轴的正半轴上，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，且反比例函数交于点，若矩形的面积是，则四边形的面积为______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边三角形的边在轴上，点、点、点分别为、、上的动点，且满足：，，连接、，当与相似时，点的坐标为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，等边，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______．

三、解答题（本题共7小题，共69分）

18. 计算：；
    分解因式：．
19. 解方程：．
20. 某校为庆祝建党周年举行“学习党史知识竞赛”活动，全校共有名学生参加活动，为了了解本次知识竞赛成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生进行统计，请你根据不完整成绩频数频率频率：每小组的频数占样本容量的比值表及成绩频数分布直方图，解答下列问题：
    抽取的学生人数为______人，表中的______，______；
    补全频数分布直方图；
    若成绩为分及分以上为优秀，则全校有多少学生成绩是优秀的？
    “学习党史知识竞赛”成绩频数频率表

21. 如图，中，，点在直角边上，，点在斜边上，以点为圆心、为半径作，交的延长线于点，交于点，连接，．
    求证：为的切线；
    若的半径为，，求的长．

22. 已知，两地相距，甲，乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，中途加油休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两人离地的距离与甲出发时间的关系式如图所示，请结合图象解答下列问题：
    甲行驶过程中的速度是______，途中休息的时间为______
    求甲加油后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    甲出发多少小时两人恰好相距？

23. 综合与实践
    数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．
    原型题：如图，于点，于点，是上一点，，，则≌______，请你说明理由．
    利用结论，直接应用：
    如图，四边形、、都是正方形，边长分别为、、，、、、、五点在同一条直线上，则≌______，______用含、的式子表示．
    如图，四边形中，，，，，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离为______．
    弱化条件，变化引申：
    如图，为线段的中点，与交于点，，且交于点，交于点，连接，则与的关系为：______，若，，则______．
     

24. 综合与实践
    如图，二次函数的图象交轴于点、点，其中点的坐标为，点的坐标为，过点、的直线交二次函数的图象于点．
    求二次函数和直线的函数表达式；
    连接，则的面积为______；
    在轴上确定点，使得，点的坐标为______；
    点是抛物线上一点，点为平面上一点，是否存在这样的点，使得以点、点、点、点为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，两张卡片上所标数字之和为偶数的结果有个，
两张卡片上所标数字之和为偶数的概率为，
故选：．
画树状图，共有个等可能的结果，两张卡片上所标数字之和为偶数的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，，



，
故选：．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】】解：从正面看，共有四列，从左到右每列的正方形的个数分别为：、、、，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
且，
且，
解得：且，
故选：．
根据分式方程的解的定义及分式方程分母不为的特点，得出关于的不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，理解分式方程的解的定义及分式方程分母不能为，得出一元一次不等式是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的半径为，将劣弧沿弦折叠交于的中点，
，，
，过圆心，
，，即，
连接，
由勾股定理得：，
即，
．
故选：．
根据翻折变换求出，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
故选：．
根据“假定年的平均增长率保持不变”可得和的关系．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题干信息找出等量关系并据此列式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，
所以函数图像均为匀速上升，
由此可排除，选项，
刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，
注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，
所以水面以较快速度均匀上升，
当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，
底面积是圆柱体的底面积，
所以水面以较慢速度均匀上升，
所以排除选项，选项D符合题意，
故选：．
根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案．
本题考查函数图象的意义，深刻理解实际问题中函数图象所代表的意义，是快速解出这道题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确，
时，，
，即，故正确，
时，，
，故正确，
，
，
，故正确，
故选：．
利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据时，即可判断；根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
由条件可得出，且，故可再加一组对应边相等或一组两边的夹角相等可证明全等．
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【解答】
解：，
，且，
所以当时，
在和中，
，
≌，
或当时，
在和中，
，
≌，
所以可添加或，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
圆锥的侧面展开图的弧长为：，
圆锥的底面半径为．
易得的余弦值，也就求得了的度数，进而可求得的度数，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径等于底面周长除以．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得出这组数据的平均数为，
所以，
故答案为：．
根据方差的计算公式得出这组数据的平均数，再由算术平均数的定义求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及算术平均数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：点的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
即点的坐标为：，
把点代入得：，
解得：，
即反比例函数的关系式为：，
，矩形的面积是，
，
，
的横坐标为，
代入得，，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
根据，得到点的纵坐标为，代入，求得点的坐标，再代入得到的值，根据“矩形的面积是”，结合，求得线段，从而得到点的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点的坐标，根据梯形的面积公式代入求值即可得到答案．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，求得、点的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
，∽，
也是等边三角形，则，
设，则，．
与相似，分两种情况讨论：
当∽时，则，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
；
当∽时，，
，
又，
，
，
∽，
，
，
，
．
．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
因为得到，所以与相似分两种情况分类讨论．
本题主要考查相似三角形的判定，坐标与图形性质以及等边三角形的判定与性质，需要考虑分类讨论是本题的易错点．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
每次旋转角度为，
次旋转，
，
第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，
第一次旋转后，，
第二次旋转后，，
第三次旋转后，，

第次旋转后，，
点的坐标为．
故答案为：．
根据旋转角度为，可知每旋转次点的位置重复出现，由此可知第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，再由，即可求解．
本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

．


． 

【解析】直接根据实数的运算法则进行计算即可．
先提取公因式，再把剩余的进行整理．
本题考查了实数的运算与因式分解，熟练掌握实数的运算法则及因式分解的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：由原方程，得
，
所以或，
解得，． 

【解析】先移项，然后提取公因式，对等式的左边进行因式分解．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次抽取的学生有：人，
，，
故答案为：，，；
由知：，
补全的频数分布直方图如图所示：



名，
答：全校约有名学生成绩是优秀的．
根据这一组的频数和频率可以求得本次抽取的学生人数，然后即可计算出、的值；
根据中的值，可以将频数分布直方图补充完整；
根据频数分布表中的数据，利用样本估计总体，可以计算出全校有多少学生成绩是优秀的．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：，，
，
在中，，
，
，
，
，，
≌，
，
的长为． 

【解析】根据圆周角定理和已知可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
根据已知可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据证明≌，从而利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：根据甲的图象可知前小时走了千米，故甲的速度为；
甲走千米需要小时，而他到达终点的时间是小时，故休息了．
故答案为：；．
设甲加油后，将和代入解析式，
，
解得．
故．
设乙路程，将和代入，
得，
解得．
故．
当时，，此时两车相距千米，
故相距时间段为小时之间．
依题意得，，
解得，或．
故甲出发小时或小时两车相距．
由图象可知，甲在前小时走了千米，计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要小时，而图象可知用了小时，相减即可求出休息时间；
设甲加油后，将图象上两点和代入即可求出解析式；
先算出乙路程和的关系式，再根据列出方程计算即可．
本题考查了一次函数的应用，根据图象找出图上点，由待定系数法求出解析式是解题关键．
 

23.【答案】      ∽  

【解析】证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
故答案为：．
证明：四边形、、都是正方形，边长分别为、、，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
、、均为正数，
，
故答案为：，．
如图，，，
，
，
，
，
，
以点为圆心的圆经过、两点，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
过点作于点，
根据垂径定理可得：，
，
，
故答案为：．
外角定理，
已知，
，，
∽，

，，
，
为线段的中点，
，
∽，
，
，
又，
，，
在中，由勾股定理得：
．
先证明，根据定理可证明≌．
先证明≌，再利用勾股定理说明、、间关系；根据证明≌，则有；再根据勾股定理求得可证明三角形是等腰直角三角形，则可得出答案．
利用三角形外角可得，进而证得∽，再由，可得出是等腰直角三角形，根据为线段的中点，可得，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案．
本题是有关圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆的性质等，此题难度适中，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

24.【答案】  或 

【解析】解：将代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为．
当时，，
解得：，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的函数表达式为．
联立直线和抛物线的函数表达式得：，
解得：，，
点的坐标为，
．
故答案为：．
当点在轴正半轴轴时，过点作于点，如图所示．
点，关于轴对称，
，
，
．
点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
平分，
．
，
，
，
点的坐标为．
当点在轴负半轴时，点的坐标为
故答案为：或
连接，则，即，利用待定系数法可求出直线的函数表达式．
分两种情况考虑，如图所示．
当四边形为矩形时，设直线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
直线的函数表达式为．
联立直线和抛物线的函数表达式得：，
解得：，，
点的坐标为，
又四边形为矩形，
点的坐标为，即；
当四边形为矩形时，同理可得出直线的函数表达式为，
联立直线和抛物线的函数表达式得：，
解得：，，
点的坐标为，
又四边形为矩形，
点的坐标为，即．
综上所述，存在这样的点，使得以点、点、点、点为顶点的四边形是以为边的矩形，点的坐标为或．
利用待定系数法可求出的值，进而可得出二次函数的表达式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再由点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
联立直线和抛物线的函数表达式可求出点的坐标，再结合点，的坐标，利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积；
当点在轴正半轴轴时，过点作于点，根据各角之间的关系可得出平分，利用角平分线的性质及面积法，可求出的长，进而可得出点的坐标；当点在轴负半轴时，利用对称性可得出点的坐标；
连接，则，分四边形为矩形及四边形为矩形两种情况考虑：当四边形为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线的函数表达式，联立后可求出点的坐标，再利用矩形的性质可求出点的坐标；当四边形为矩形时，利用平行线的性质及待定系数法可求出直线的函数表达式，联立后可求出点的坐标，再利用矩形的性质可求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、角平分线的性质、三角形的面积以及矩形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线的函数表达式；联立两函数表达式，求出点的坐标；利用面积法，求出的长；分四边形为矩形及四边形为矩形两种情况，求出点的坐标．