北京市第十九中学2022-2023学年九年级上学期假期学习反馈数学试卷（含答案）

这是一份北京市第十九中学2022-2023学年九年级上学期假期学习反馈数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市第十九中学2022--2023学年上学期九年级假期学习反馈数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．，， C．，， D．3，4，6
3．（3分）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（　　）

A．15m B．20m C．25m D．30m
4．（3分）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）若点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）

A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
7．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝72，则S2的值是（　　）

A．48 B．36 C．24 D．25
8．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设△PAD的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是
（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD的长度是　 　．

11．（2分）将函数y＝2x的图象向下平移3个单位，则得到的图象相应的函数表达式为　 　．
12．（2分）如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为　 　．

13．（2分）射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差 　 　0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B（0，﹣3），则菱形ABCD的面积是 　 　．
15．（2分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是　 　．

16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存在x轴一点P，使AP+BP最小，则最小值是 　 　，点P坐标为 　 　．
三、计算题（17-18题每小题8分）
17．（8分）（1）计算：（π+）0+﹣（）﹣1﹣|﹣1|．
（2）计算：﹣+（+1）．
18．（4分）求当x＝2+时，代数式x2﹣4x+2017的值．
四、解答题（19题4分，20题5分，21题4分，22-23题5分，24题8分，25题5分，26题6分，27题6分）
19．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：矩形ACBD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OB，　 　＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形．（ 　 　）（填推理的依据）
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD是矩形．（ 　 　）（填推理的依据）

20．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

21．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
（2）当自变量x＝﹣4时，函数y的值　 　；
（3）当x＜0时，请结合图象，直接写出y的取值范围：　 　．

22．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝．求CD的长．

23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣2，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的解析式：
（2）若点C是x轴上一点．且△ABC的面积是4．求点C的坐标．
24．（8分）对于函数y＝|x|+b，小明探究了它的图象及部分性质．
下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是 　 　；
（2）令b分别取0，1和﹣2，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是 　 　，n的值是 　 　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3

y＝|x|
…
3
2
1
0
1
2
3

y＝|x|+1
…
4
m
2
1
2
3
4

y＝|x|﹣2
…
1
0
n
﹣2
﹣1
0
1

（3）根据表中数据，补全函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象；
（4）结合函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象，写出函数y＝|x|+b的一条性质：　 　；
（5）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在函数y＝|x|+b的图象上，当x1x2＞0时，若总有y1＜y2，结合函数图象，直接写出x1和x2大小关系．

25．（5分）2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90≤x＜100，100≤x＜110，…，170≤x＜180）：

b．男生1分钟跳绳次数在140≤x＜150这一组的是：
140，141，142，143，144，145，145，147
c.1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如表：
组别
平均数
中位数
优秀率
男生
139
m
65%
女生
135
138
n
注：《国家中学生体质健康标准》规定：八年级男生1分钟跳绳次数大于或等于135个，成绩为优秀；八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整；
（2）写出表中m，n的值；
（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于 　 　（填“男生”或“女生”）组；
（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），B（0，﹣1），点B关于x轴的对称点为C．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点D为x轴上任意一点，求线段AD与线段CD之和的最小值；
（3）一次函数y＝ax+c（a≠0）的图象经过点C，当x＞2时，对于x的每一个值，y＝ax+c的值都小于y＝kx+b的值，直接写出a的取值范围．

27．（6分）在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．
①求证：∠BCF＝∠BAP；
②求证：EA＝EC+EB；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．


北京市第十九中学2022--2023学年上学期九年级假期学习反馈数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化成最简二次根式，再进行判断即可．
【解答】解：A、＝3，不能与合并；
B、＝，能与合并；
C、＝2，不能与合并；
D、＝，不能与合并；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的应用，主要考查学生的化简能力和理解能力．
2．（3分）下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．，， C．，， D．3，4，6
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形；
B、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形；
C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．（3分）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（　　）

A．15m B．20m C．25m D．30m
【分析】根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴AB＝2DE＝20cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（3分）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解决此题．
【解答】解：A．根据图示，对任意x，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故A不符合题意．
B．根据图示，对任意x，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故B不符合题意．
C．根据图示，存在x，会存在两个y值与之对应，那么y不是x的函数，故C符合题意．
D．根据图示，对任意x，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故A不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义以及表示方法的函数图象是解决本题的关键．
5．（3分）若点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+t中，k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）

A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
【分析】现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，
：|a|＞|b|，
则a+b＜0，
原式＝﹣a﹣[﹣（a+b）]＝﹣a+a+b＝b．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
7．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝72，则S2的值是（　　）

A．48 B．36 C．24 D．25
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝72得出3GF2＝72，求出GF2的值即可．
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝72，
∴GF2＝24，
∴S2＝24．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2＝72是解决问题的关键．
8．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设△PAD的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是
（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意分析△PAD的面积的变化趋势即可．
【解答】解：根据题意当点P在点E时，过点E作EG⊥AD于G，如图：

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，AB＝4，
点E是边AB的中点，
∴AE＝2，
∴S△PAD＝S△EAD＝AD•EG＝AD•AE＝×4××2＝2，
∴当x＝0时，S＝2，
当点P由E向B运动时，△PAD的面积匀速增加，
当点P与点B重合时面积达到最大，
此时S＝AD•AB＝×4××4＝4，
当P由B向C时，△PAD的面积保持不变，
当P由C向F运动时，△PAD的面积匀速减小，
当点P与点F重合时，此时S＝2．
故选：D．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案是：x≥2且x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD的长度是　5　．

【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
11．（2分）将函数y＝2x的图象向下平移3个单位，则得到的图象相应的函数表达式为　y＝2x﹣3　．
【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：将一次函数y＝2x的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y＝2x﹣3；
故答案为：y＝2x﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
12．（2分）如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为　45°　．

【分析】设小正方形的边长为1，连接AC，利用勾股定理求出AC、BC、AB的长，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，继而得出∠ABC的度数．
【解答】解：如图，设小正方形的边长为1，连接AC．
则AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∴AC＝BC，且AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．

【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出AC、BC、AB的长，判断出△ABC是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．
13．（2分）射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差 　大于　0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
【分析】计算小东11次射击成绩的方差后比较即可．
【解答】解：小东这11次射击成绩的的平均成绩为（8.1×10+10）÷11＝≈8.27，
小东这11次成绩的的方差S2＝×[2×（7.5﹣8.27）2+2×（8﹣8.27）2+2×（8.5﹣8.27）2+2×（7﹣8.27）2+2×（10﹣8.27）2+（9﹣8.27）2]≈1.02，
∵1.02＞0.79，
∴小东这11次成绩的方差大于0.79．
故答案为：大于．
【点评】本题考查方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B（0，﹣3），则菱形ABCD的面积是 　24　．
【分析】根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点O就是菱形ABCD对角线的交点，再根据菱形的性质可得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以S菱形＝4S△AOB．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3）．
∴OA＝4，OB＝3．
∴S△AOB＝OA•OB＝6．
∵菱形是轴对称图形，且菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．
∴菱形对角线的交点为坐标原点O．
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个全等的直角三角形是解题的关键．
15．（2分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是　x＞1　．

【分析】利用函数图象，写出一次函数y1＝x+b的图象在一次函数y2＝kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存在x轴一点P，使AP+BP最小，则最小值是 　　，点P坐标为 　（，0）　．
【分析】首先求得点B关于x轴的对称点B′点的坐标，然后再求得直线AB′与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，1），
∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（2，﹣1）．
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
即AP+BP的最小值为AB'，
∵A的坐标为（﹣3，3），
∴AB'＝＝，
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，将点A、B′的坐标代入得，
．
解得：k＝﹣，b＝．
∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0得：﹣x+＝0，
解得：x＝．
所以点P的坐标为（，0）．
故答案为：，（，0）．
【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题、待定系数法求一次函数的解析式，求得直线AB′的解析式是解题的关键．
三、计算题（17-18题每小题8分）
17．（8分）（1）计算：（π+）0+﹣（）﹣1﹣|﹣1|．
（2）计算：﹣+（+1）．
【分析】（1）先计算零指数幂、化简二次根式、负整数指数幂以及去绝对值；然后计算加减法；
（2）先化简二次根式、去括号；然后计算加减法．
【解答】解：（1）（π+）0+﹣（）﹣1﹣|﹣1|
＝1+3﹣2﹣+1
＝2；
（2）﹣+（+1）
＝3﹣4+2+
＝（3﹣4+1）+2
＝2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
18．（4分）求当x＝2+时，代数式x2﹣4x+2017的值．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：当x＝2+时，
x2﹣4x+2017
＝x2﹣4x+4﹣4+2017
＝（x﹣2）2+2013
＝（2+﹣2）2+2013
＝3+2013
＝2016．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
四、解答题（19题4分，20题5分，21题4分，22-23题5分，24题8分，25题5分，26题6分，27题6分）
19．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：矩形ACBD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OB，　OC　＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形．（ 　对角线互相平分的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD是矩形．（ 　有一个角是直角的平行四边形是矩形　）（填推理的依据）

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【解答】（1）解：如图，矩形ACBD即为所求；


（2）证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

【分析】本题考查平行四边形性质的应用，要证BE＝DF，可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE＝DF．要证△ABE≌△CDF，由平行四边形的性质知AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，又知AE＝CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE＝DF得证．本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等．
【解答】证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAF＝∠BCE．
∵AE＝CF，
∴AF＝AE+EF＝CF+EF＝CE．
在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE．
∴BE＝DF．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
21．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
（2）当自变量x＝﹣4时，函数y的值　11　；
（3）当x＜0时，请结合图象，直接写出y的取值范围：　y＞3　．

【分析】（1）根据一次函数y＝﹣2x+3，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象；
（2）把x＝﹣4代入解析式求得即可；
（3）观察图象的即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线，
当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝，
∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0），
其图象如下：

（2）把x＝﹣4代入y＝﹣2x+3，得y＝11，
故答案为11；
（3）由图可知，当x＜0时，y＞3，
故答案为y＞3．
【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与不等式的关系等．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝．求CD的长．

【分析】由含30度角的直角三角形的性质，得出BD＝3，由BC＝CD及勾股定理即可求出CD的长度．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB，
∵AB＝，
∴AD＝，
∴BD＝＝＝3，
∵∠C＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，
∵BC＝CD，
∴2CD2＝（3）2，
解得：CD＝3或﹣3（不符合题意，舍去），
∴CD的长为3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握含30度角的直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣2，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的解析式：
（2）若点C是x轴上一点．且△ABC的面积是4．求点C的坐标．
【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，把点A和点B的坐标代入求出k，b的值即可；
（2）根据三角形面积求得AC的长，进而依据A的坐标即可求得C的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
把点A（﹣2，0）与点B（0，4）代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：y＝2x+4；
（2）∵点A（﹣2，0），点B（0，4），
∴OB＝4，
∵△ABC的面积是4．
∴＝4，即AC•4＝4，
∴AC＝2，
∴点C的坐标为（﹣4，0）或（0，0）．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
24．（8分）对于函数y＝|x|+b，小明探究了它的图象及部分性质．
下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是 　任意实数　；
（2）令b分别取0，1和﹣2，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是 　3　，n的值是 　﹣1　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3

y＝|x|
…
3
2
1
0
1
2
3

y＝|x|+1
…
4
m
2
1
2
3
4

y＝|x|﹣2
…
1
0
n
﹣2
﹣1
0
1

（3）根据表中数据，补全函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象；
（4）结合函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象，写出函数y＝|x|+b的一条性质：　当x＞0时，函数y随x的增大而增大，当x＜0时，函数y随x的增大而减小　；
（5）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在函数y＝|x|+b的图象上，当x1x2＞0时，若总有y1＜y2，结合函数图象，直接写出x1和x2大小关系．

【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；
（2）把x＝﹣2代入y＝|x|+1，求得m＝3，把x＝﹣1代入y＝|x|﹣2，求得n＝﹣1；
（3）根据表格数据补全函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象即可；
（4）观察图象即可求得；
（5）根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）函数y＝|x|+b中，自变量x可以是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）把x＝﹣2代入y＝|x|+1，得y＝3，
把x＝﹣1代入y＝|x|﹣2，得y＝﹣1，
∴m＝3，n＝﹣1，
故答案为：3，﹣1；
（3）补全函数y＝|x|，y＝|x|+1，y＝|x|﹣2的图象如下图所示：

（4）由图知，当x＞0时，函数y随x的增大而增大，当x＜0时，函数y随x的增大而减小；
故答案为：当x＞0时，函数y随x的增大而增大，当x＜0时，函数y随x的增大而减小；
（5）∵点（x1，y1）和点（x2，y2）都在函数y＝|x|+b的图象上，x1x2＞0，
∴点（x1，y1）和点（x2，y2）在y轴的同一侧，
观察图象，当x1x2＞0时，若总有y1＜y2，则x2＜x1＜0或0＜x1＜x2．
【点评】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图象，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．
25．（5分）2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90≤x＜100，100≤x＜110，…，170≤x＜180）：

b．男生1分钟跳绳次数在140≤x＜150这一组的是：
140，141，142，143，144，145，145，147
c.1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如表：
组别
平均数
中位数
优秀率
男生
139
m
65%
女生
135
138
n
注：《国家中学生体质健康标准》规定：八年级男生1分钟跳绳次数大于或等于135个，成绩为优秀；八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整；
（2）写出表中m，n的值；
（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于 　女生　（填“男生”或“女生”）组；
（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数．
【分析】（1）女生1分钟跳绳次数在130≤x＜140这一组的频数，继而可补全图形；
（2）根据中位数和优秀率的概念可得m、n的值；
（3）根据中位数的意义判断即可；
（4）将男、女生人数分别乘以其优秀率，再相加即可．
【解答】解：（1）女生1分钟跳绳次数在130≤x＜140这一组的频数为20﹣（1+1+2+2+6+1+1+1）＝5，
补全图形如下：

（2）男生1分钟跳绳次数的中位数为＝142.5，n＝×100%＝70%；
（3）因为该学生的1分钟跳绳次数为140个，大于女生1分钟跳绳次数的中位数，
所以该生属于女生组，
故答案为：女生；
（4）100×65%+120×70%
＝65+84
＝149（人），
答：估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．
【点评】本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），B（0，﹣1），点B关于x轴的对称点为C．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点D为x轴上任意一点，求线段AD与线段CD之和的最小值；
（3）一次函数y＝ax+c（a≠0）的图象经过点C，当x＞2时，对于x的每一个值，y＝ax+c的值都小于y＝kx+b的值，直接写出a的取值范围．

【分析】（1）通过待定系数法将A（2，3）和点B（0，﹣1）代入解析式求解即可．
（2）点C关于x轴的对称点为B．连结AB，利用将军饮马问题，AB的长度即为最小值．
（3）利用一次函数y＝ax+c（a≠0）的图象经过点C，得到y＝ax+1，根据点（2，3）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）将A（2，3）和点B（0，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣1；
（2）∵点B关于x轴的对称点为C，
∴C点的坐标是（0，1）．
∵点D为x轴上任意一点，且AD与CD之和最小又点C关于x轴的对称点为B，
∴AB即为线段AD与线段CD之和的最小值，
即AB＝＝2．
（3）一次函数y＝ax+c（a≠0）的图象经过点C，
把（0，1）代入，
得到y＝ax+1，
把点（2，3）代入y＝ax+1，求得a＝1，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝ax+1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，
∴a的取值范围是：a≤1且a≠0．
【点评】本题考查待定系数法解一次函数解析式、将军饮马问题及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
27．（6分）在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．
①求证：∠BCF＝∠BAP；
②求证：EA＝EC+EB；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．

【分析】（1）①根据正方形的性质和垂线的性质得∠ABP＝∠CEP＝90°，由三角形的内角和定理可得结论；
②图1，过点B作BM⊥BE于B，证明△ABM≌△CBE（ASA）和△EBM是等腰直角三角形可得结论；
（2）正确作图2，同理可得结论．
【解答】（1）证明：①∵AP⊥CE，
∴∠CEP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠CEP，
∵∠CPE＝∠APB，
∴∠BCF＝∠BAP；
②如图1，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM＝∠ABP＝90°，
∴∠ABM＝∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
由（1）知：∠BAM＝∠BCE，
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴BM＝BE，AM＝CE，
∵∠EBM＝90°，BE＝BM，
∴EM＝BE，
∵AE＝AM+EM，
∴AE＝EC+BE；
（2）解：线段EA，EC，EB之间的数量关系为：CE＝AE+BE，理由如下：
如图2，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM＝∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠CBM，
∴AB＝BC，
由（1）同理得：∠BAE＝∠BCM，
∴△ABE≌△CBM（ASA），
∴BM＝BE，AE＝CM，
∵CE＝CM+EM，
∴CE＝AE+BE；
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题难度适中，证明三角形全等是解题的关键．