福建省上杭县第三中学2022-2023学年九年级上学期暑期托管综合训练数学试题（含答案）

这是一份福建省上杭县第三中学2022-2023学年九年级上学期暑期托管综合训练数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩市上杭三中九年级（上）暑期托管数学试卷  一、选择题（本题共10小题，共40分）下列方程中，是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值是(    )A.  B.  C.  D. 将方程变形为的形式，结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 下列各点在抛物线上的是(    )A.  B.  C.  D. 函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(    )A.  B.
C.  D. 在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 已知，点，，都在函数的图象上，则(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确信息的个数有(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本题共6小题，共24分）一元二次方程的二次项系数是______，常数项是______．二次函数的最大值为______．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过轮传染后共有______只鸡受到传染．把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是______．二次函数的图象经过原点，则的值为______．要为一幅长，宽的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为，则可列出关于的一元二次方程______ ．三、解答题（本题共9小题，共86分）解方程：
；
．先化简，再求值：，其中满足．已知二次函数．
求抛物线的顶点坐标和对称轴；
画出该二次函数的图象．
已知二次函数．
将化成的形式；
写出随增大而减小时，自变量的取值范围．如图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的倍．这块休闲场所南北长，东西宽已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为，请问主干道的宽度为多少米？
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根．
如果方程的两实数根为，，且，求的值．铜陵职业技术学院甲、乙两名学生参加操作技能培训．从他们在培训期间参加的多次测试成绩中随机抽取次，记录如下： 学生次测试成绩分平均数中位数方差甲 乙  请你在表中填上甲、乙两名学生这次测试成绩的平均数、中位数和方差．其中平均数和方差的计算要有过程
现要从中选派一人参加操作技能大赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名同学参加合适，请说明理由．某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
在抛物线的对称轴上找一点，使最短，求出点坐标；
是轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求点坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是，故本选项不符合题意．
故选：．
一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系；
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【解答】
解：由题意知，
方程没有实数根，则，
所以可得关于的不等式：，
故选：．  3.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
利用配方法求解．
此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
 4.【答案】 【解析】解：当时，；当，，
点在抛物线上．
故选A．
分别计算自变量为和时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，属于基础题．
由题意，方程的根的个数，即为函数和直线的图象交点个数，即可求出结果．
【解答】
解：由题意，
方程的根的个数，即为函数和直线的图象交点个数，
因为函数的顶点的纵坐标为，
直线与函数的图象有个交点，
方程的根为两个不相等的实数根．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
二次函数图象开口向下，
对称轴是直线，
当时，函数图象在对称轴的左边，随的增大而增大．
故选：．
抛物线中的对称轴是直线，开口向下，时，随的增大而增大．
本题考查了二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴左边，随的增大而增大．
 8.【答案】 【解析】解：当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
即点，，都在轴左侧，
的图象在对称轴的左侧，且随的增大而减小，
．
故选：．
本题主要考查了二次函数的图象性质及图象上点的坐标特征．
根据函数的图象的特点，在轴的左侧随的增大而减小即可得．
 10.【答案】 【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，与异号，
，
与轴交于正半轴，
，
，
故选项错误；
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
，故选项正确；
当时，由图象可得，
故选项错误；
对称轴，
，
当时，，
，故选项错误；
当时，抛物线取得最大值，
当时，有，即，
故选项正确；
故选：．
首先根据图象得到、、的符号，再根据对称轴可以得到与之间的关系，利用特殊值法代入求解，当时函数的值，再利用函数的增减性进行求解．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
 11.【答案】   【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，常数项是，
故答案为：，．
先找出二次项和常数项，再找出二次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，，其中是二次项，是一次项，是常数项．
 12.【答案】 【解析】解：，，，
最大值．
故答案是．
把、、的值代入最值公式计算即可．
本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是掌握求最值的公式．
 13.【答案】 【解析】解：设每轮传染中只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二种传染中有只鸡被传染，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
经过轮传染后共有只鸡受到传染．
故答案为：．
设每轮传染中只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二种传染中有只鸡被传染，根据“有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有只鸡患上该种传染病”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是，
故答案为．
根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 15.【答案】 【解析】解：点在抛物线上，
，
解得或，
不合题意，

故答案为：．
将原点坐标代入二次函数解析式，列方程求即可．
此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：设相框边的宽度为，则可列方程为：
．
故答案为：．
根据相框所占面积为照片面积的四分之一，可得配上相框后的图形的面积是照片面积的，进而得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示配上相框后的图形的面积是解题关键．
 17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，，，
，
则，
即，． 【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 18.【答案】解：原式

，
由解得，，，
，
当时，原式． 【解析】先算括号里面的，再算除法，根据满足求出的值，代入分式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 19.【答案】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
如图：
 【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
根据二次函数解析式作图．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 20.【答案】解：，即．
由得图象的对称轴为直线，
，
随的增大而减小，自变量取值范围是：；． 【解析】运用配方法把一般式化为顶点式即可；
利用开口方向以及顶点坐标得出的取值范围．
此题主要考查了二次函数的性质以及图象与坐标轴的交点坐标求法，利用二次函数增减性得出函数最值是解题关键．
 21.【答案】解：设主干道的宽度为，则其余道路宽为，
依题意得：，
整理，得，．
当时，，不合题意，舍去．
当米时，米．
答：主干道的宽度为米． 【解析】把图中的阴影部分进行平移后．可得到一个长方形，所以本题的等量关系为：长宽．
本题的关键在于应把图中的阴影部分进行平移得到一个长方形，准确地找到其长与宽的代数式．
 22.【答案】解：由题意可知：
，
方程有两个不相等的实数根．
，
，

． 【解析】根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
 23.【答案】解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
则甲的中位数为．
乙的平均数为：，
乙的方差为：，
从平均数上看甲乙相同，说明甲乙的平均水平即他们的实力相当，但是甲的方差比乙小，说明甲的成绩比乙稳定，
因此我们应该派甲去参加比赛． 【解析】根据中位数、方差、平均数的概念分别进行计算，即可求出答案；
从平均数与方差上进行分析，根据方差越大，波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，波动越小，数据越稳定即可求出答案．
此题考查了中位数、方差、平均数，掌握中位数、方差、平均数的概念是解题的关键，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，波动越小，数据越稳定．
 24.【答案】解：且为整数；

由中的与的解析式配方得：．
，当时，有最大值．
，且为整数，
当时，，元，
当时，，元，
当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元．

当时，，
解得：，．
当时，，
当时，，
当售价定为每件元或元，每个月的利润为元． 【解析】根据题意可知与的函数关系式．
根据题意可知，当时有最大值．
设，解得的值．
此题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现建模思想的渗透．
 25.【答案】解：抛物线的解析式为，
令，则，
点坐标，
令，则或，
，，
抛物线的对称轴为直线．
连接，与抛物线的对称轴交于点，点即为所求，

，，
直线的解析式为：，
当时，，
当时，最短．
由知，，
，
当时，，
．

当时，
，，不合题意．
点的坐标为 【解析】连接，与抛物线的对称轴交于点，点即为所求，求出，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论；
分两种情况进行讨论：，先根据抛物线的解析式求出点的坐标，即可得出的长，进而可求出的长，也就知道了的长，由此可求出点的坐标；，此时与关于轴对称，由此可求出点的坐标．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题等相关知识，熟练掌握轴对称最值问题的解题模型是解题关键．