2023湖南省名校联考联合体高二上学期第一次联考数学试卷含答案

名校联考联合体

2022年秋季高二年级第一次联考

数学

时量：120分钟满分：150分

得分：__________

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则（    ）

A.    B.2    C.    D.

3.已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分又不必要条件

4.已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（    ）（参考数据：）

A.    B.    C.    D.

6.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限的交点为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.2    C.    D.4
7.在中，，现以为旋转轴旋转得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知点分别为椭圆的左､右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的标准方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，

9.为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A.

B.得分在区间内的学生人数为200

C.该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80

D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内

10.已知函数，下列结论正确的是（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象的一个对称中心为

C.函数在区间上单调递增

D.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数的图象

11.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点是棱上的动点，则（    ）

A.存在点，使平面

B.三棱锥体积的最大值为

C.点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值

D.存在点，使直线与所成的角为

12.已知函数为奇函数，且对定义域内的任意都有.当时，.则下列结论正确的是（    ）

A.当时，

B.函数是以2为周期的周期函数

C.函数的图象关于点成中心对称

D.函数在上单调递减

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知为单位向量.若，则在上的投影向量为__________.

14.写出过点，且横､纵截距的绝对值相等的一条直线方程__________.

15.若，则__________.

16.已知直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，若抛物线上存在不同于点的一点，满足则的面积为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，分别是内角的对边.已知

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

18.（本小题满分12分）

已知函数在区间上的最大值与最小值之和为.

（1）求实数的值；

（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知圆：M：.关于直线对称，记点，过点.的直线与圆相切于点.

（1）求的最小值；

（2）当取最小值时，求切点所在的直线方程.

20.（本小题满分12分）

在直三棱柱中，已知为的中点，.

（1）证明：；

（2）若底面是等腰直角三角形，，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是言

（1）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；

（2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；

（3）求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率.

22.（本小题满分13分）

已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.

（1）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；

（2）设直线与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.

名校联考联合体2022年秋季高二年级第一次联考

数学参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.B  【解析】因为，所以，故选B.

2.A  【解析】由得，所以，故选A.

3.A  【解析】因为由

，

所以四点共面，所以充分性成立；但当四点共面时，存在，可知必要性不成立.故选A.

4.D  【解析】当直线过圆心时，弦长取最大值4，当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值，故选D.

5.A  【解析】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为秒，则有，

两边取常用对数，得

，所以.故选A.

6.B  【解析】由已知，由双曲线的定义可知，可得，从而，所以在等腰三角形中，，得，所以，故选B.

7.A  【解析】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3的菱形，为内切球的球心，

因为，所以，所以内切球的半径，故，故选A.

8.B  【解析】由题意设，直线为，设直线的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，则，，当且仅当，即时取等号，又的最大值为，

得，从而，故椭圆的标准方程为.故选B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ABD  【解析】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故正确；

对于，由频率分布直方图得：成绩落在区间的频率为，所以人数为，故跕确；对于，由频率分布直方图得：的频率为的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故错误；

对于D，估计成绩的平均数为：，

所以成绩的平均数落在区间内，故正确.故选ABD.

10.BCD  【解析】对于，函数的最小正周期为，故错误；

对于，当时，，故函数的图象的一个对称中心为满足条件，故正确；

对于，令，整理得：，所以函数在区间上单调递增，故C正确；

对于，函数的图象向左平移个单位后得到，函数为偶函数，故D正确.故选BCD.

11.ABC  【解析】当为中点时，是的中位线，所以，又平面平面，所以平面，故A正确；

由题设，因为底面为正方形，故，

又底面，所以，又，所以底面，所以当与重合时，三棱锥的体积最大，且为，故B正确；

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

又，则，

由是棱上的动点，设，

点到平面的距离，点到平面的距离

，

所以，故C正确；

，若存在点，使直线与所成的角为，

则，化简得，无解，故错误.

故选.

12.ABC  【解析】由题知为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意都有，所以其图象还关于点对称，据此可判断函数为周期函数，2是函数的周期.又当时，；函数为偶函数，其图象关于y轴对称，画出函数图象可知ABC正确，D错误，故选ABC.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  【解析】因为为单位向量，所以，解得，所以在上的投影向量为.

14.，或，或（写出任意一条即可得满分）

【解析】当直线经过原点时，横､纵截距都为0，则直线方程为；

当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或

直线方程为，或.

15.  【解析】因为，解得.所以.

16.8  【解析】设，由于抛物线关于轴对称，若抛物线上存在不同于点的一点，满足点与点关于轴对称，则点，

设直线的方程为，联立消可得，

根据题意，

联立消可得，

，则直线与轴的交点坐标为，

直线与轴交点的坐标为，

.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步乑.

17.【解析】（1）由正弦定理得.

因为，所以，

化简得，

即，因为，所以.

（2）由（1），又，

由余弦定理，

所以，

所以.

18.【解析】（1）因为函数在区间上的单调性相同，

所以函数在区间上是单调函数，

所以函数在区间上的最大值与最小值之和为，

所以，解得和（舍），

所以实数的值为2.

（2）由（1）得，

因为对于任意的，不等式恒成立，且恒成立，

所以对于任意的恒成立，

当时，为单调递增函数，

所以，所以，即，

所以实数的取值范围是.

19.【解析】（1）因为圆关于直线对称，

所以直线过圆心，所以，即，

故点的轨迹方程为，

因为的最小值即为到直线的距离，

由于，即，

所以，即.

（2）由（1）知，当取最小值时，直线垂直直线，

可得直线的方程为，即，

联立解得，

因为，所以四点共圆，

故以为直径的圆的方程为，

又已知圆，

两圆方程相减得的方程为.

20.【解析】（1）连接，如图所示.

因为为的中点，且，所以.

又为直三棱柱，故平面，.

因为平面，所以.

又平面，所以平面，

又平面，所以.

又平面，

所以平面，又平面，所以.

（2）因为，则，又为直三棱柱，

故平面，又平面，所以，

故两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，

，

因为，所以，解得，

故，

设平面的一个法向量，

则即取，解得，

则，又，

设直线与平面所成的角为，则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

21.【解析】（1）设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，

事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，

则，

甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：

.

（2）设事件表示“内获得该高校综合评价录取资格”，则，

三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：

.

（3）记为甲､乙､区三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数，

则甲､乙､内三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率，

又，.

，

所以.

22.【解析】（1）因为椭圆的方程为，所以.

设，则，即.

则直线的方程为：，令，得；

同理，直线的方程为：，令，得.

所以

.

即四边形的面积为定值2.

（2）由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为.

联立消去得，

，化简整理，得.

设，则.

因为，所以.

因为，所以，得，

将代入上式，得，

得，解得或（舍去），.

所以直线的方程为，则直线恒过点，

所以.

设，则，

易知在上单调递增，所以当时，取得最大值.

又，所以.