小学数学人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）教案

《鸽巢问题》教学设计

   教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书.数学》六年级（下册）第五单元数学广角“抽屉原理”第68、69页的内容。

   教学目标：

1.知识与能力目标：

经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。

    2.过程与方法目标：

经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有支据、有条理地进行思考和推理的能力。

3.情感、态度与价值观目标：

通过“鸽巢问题”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

    教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。

    教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

    教学准备：媒体课件、卡片、纸杯、铅笔、练习纸。

    教学过程：

一、课前游戏，激趣引新。

师：你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗？今天老师也能做到“料事如神”，你们信不信？

    现在，老师这有3张漂亮的卡片，老师背对着大家把它们送给在坐的三位同学，不用老师回头，老师也知道得到卡片的三个同学当中，至少会有两个同学的性别相同。

    验证：老师背对着学生把卡片抛出验证学生的说法。

    如果老师再抛几次还会有这种现象出现吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，也就是我们今天这节课要研究的学习内容——鸽巢问题，想不想研究啊？通过学习，你想解决哪些问题？ 通过同学们的回答，发现大家最想知道的是： “鸽巢问题”是怎样的？ 这里的“鸽巢”是指什么？ 运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？ 怎样运用“鸽巢问题”解决问题？

    二、操作探究，发现规律。

1.动手摆摆，感性认识。

今天这节课我们就用铅笔和笔筒来研究。来看例1(课件出示）

把4支铅笔放进3个笔筒中。会有怎样的结果呢？

猜一猜:不管怎样放,总有一个笔筒里至少放着____支铅笔。

    2.提出疑问：

   “不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”这个猜想正确吗?

   （板书“？”）怎样证明这种现象呢？这就需要同学们实验验证一下。

    3．实验探究：

   （1）用列举法探究：

我们每个小组都有铅笔和纸杯,我们用纸杯代替笔筒,现在我们以小组为单位，比一比，操作操作，看哪个小组先操作完，而且把记录单填好，听清楚了吗？好，开始动手吧！

   （利用手中的学具摆一摆，并把你们摆放的方法记录在导学单上。注意要按照一定的顺序摆放，做到不重复不遗漏。）

学生动手操作，师巡视。

   汇报交流 说理活动

    A．哪个小组愿意给大家汇报一下，注意要按照一定的顺序汇报。

    B．学生汇报，教师相机板书。

a．把4支铅笔都放到同一个笔筒里，铅笔的数量分别是多少？（4，0，0）

b．把3支铅笔放到同一个笔筒里，剩下的放到另一个笔筒里，就得到（3，1，0）

    c．把2支铅笔放到同一个笔筒里，剩下的放到另一个笔筒里，就得到（2，2，0）

    d．把2支铅笔放到同一个笔筒里，剩下的分别放到另外的两个空笔筒里，就得到（2，1，1）

刚刚我们这个小组摆出了四种不同的摆法，还有其他的情况吗？（没有了）大家都是这样摆的吗？好，请同学们观察这四种摆法，你可以保证总有一个笔筒里至少放了多少支笔？（2支）那老师就有疑问了，总有是什么意思？（生：一定有）那我们来找一找，是不是每种摆法都一定有这样一个笔筒，好不好？师生共同找，生答，师圈出每种摆法里最多的哪个数。那么，每一种摆法，我们都能找到这样一个笔筒，至少放了2支，也就是说放2支或2支以上。

    也就是说：不管怎么放，总有一个笔筒里至少要放几支铅笔？（2支）（师将“？”擦去）因此，我们可以这样描述：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少要放2支铅笔。你也能像我这样说一说吗？

    像这样把每一种放法都列举出来，然后一一去验证的方法，叫枚举法。（板书：枚举法）

4.提出问题，优化摆法。

   （1）除了像这样把所有可能的情况都列举出来，我们还能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？（小组内交流讨论）

    好了，看来大家都有答案了，谁来说说你们组的想法？

    你能结合操作给大家演示一遍吗?

同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?

师生小结:假如每个笔筒放入一支小棒，剩下的一支还要放进一个笔筒里，无论放在哪个笔筒里，一定能找到一个笔筒里至少有2支小棒。

    (2)这种分法,实际是先怎么分的? (平均分)

    为什么要先平均分?  （通过平均分，我们就能使放的支数最多的笔筒里变得尽可能少。这种思维方式在数学中，我们称为“最不利原则。） (平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。)（出示课件幻灯片3）

   （3）既然是平均分，能用算式表示吗？生说，师板书。（4÷3=1…1）“总有一个笔筒中至少有几支铅笔？”用算式怎么表示？（1+1=2）

   无论是大屏幕上的文字叙述，还是黑板上的算式，实际上都是一种方法，我们叫它“假设法”。（板书：假设法）你认为哪种方式更简便一些？

    也就是说，我们现在可以用两种方法来解决这类问题。第一种方法是枚举法，把所有的可能都找出来；第二种方法是假设法，既可以用语言叙述，也可以用算式表示。通过刚才的实验，你发现枚举法和假设法哪种比较适用呢？（假设法）

5.步步逼近，理性认识。

   （1）师：刚才，我们通过不同的方法验证了这句话是正确的，现在老师把题目改一改，把6支铅笔放在5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔吗？对不对，为什么？（那照这样还用摆吗？）

把7支铅笔放进6个笔筒里呢？

把8支笔放进7个笔筒里呢？（简单的题难不倒大家，增加点难度，还会吗？）

把100支笔放进99个笔筒里呢？（真不简单，这么大的数据也能说出结论。）

……

   （2）符合这种结果的情况你能一一说完吗？你会用一句归纳这些情况吗？

    好，把你发现的规律大声说出来。

   （笔的支数比笔筒数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。）

6.数量积累，发现方法。

你们真了不起，短短的时间内就掌握了规律。那如果铅笔的数量比笔筒的数量多2、多3,又会有怎样的结果呢？这个结论是否依然成立呢？（课件68页做一做）

7只鸽子要飞进5个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？

   （1）生试做。你可以想一想，说一说，自己学起来有困难的可以请教身边的同学。如果要用一个算式表示，你会吗？(展示作业，给予评价）

   （2）算式中告诉我们经过第一次平均分配后，还余下了2只鸽子，这两只鸽子会怎么飞呢？（有可能两只飞进了同一个鸽舍里，也有可能飞进了不同的鸽舍里。）我们怎样分，才能保证至少？剩下的2只要怎么分？

   （3）不管怎么飞，一定会出现哪种情况？

   （4）讨论：刚才是铅笔数比笔筒数多1支的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？

   （5）如果是“8只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下3只鸽子。）

 　（6）“9只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下4只鸽子。）

支据学生的回答，用算式表示以上各题，并板书。

    7.构建模型，解释原理。

   （1）观察黑板上的算式，你有了什么新的发现？（只要鸽子数比盒鸽舍数多，且小于鸽舍数的两倍，至少有2只鸽子飞进了同一个鸽舍里。）

   （2）刚才我们研究的这些现象就是著名的“鸽巢问题”，（教师板书课题：鸽巢问题）我们将铅笔、鸽子看做物体，笔筒、鸽舍看做鸽巢。

   （3）课件出示：“鸽巢原理”又称“抽屉原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

   （4）请你用“鸽巢问题”解释我们的课前游戏，为什么不管老师怎么送，得到卡片的同学一定有两个同学的性别是一样的？其中什么相当于“物体”？什么相当于“鸽巢”？

三、循序渐进，总结规律。

同学们非常了不起，善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题，得出结论。同学们的思维也在不知不觉中提升了许多，那么让我们再来看这样一组问题。

   （1）出示69页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？

A、该如何解决这个问题呢？

B、如何用一个式子表示呢？（展示作业，给予评价）

C、你又发现了什么？

教师支据学生的回答，继续板书算式。

   （2）如果把8本书放进3个抽屉里呢？10本书呢？（展示作业，给予评价）

   （3）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？

教师师让学生充分讨论后得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”（教师板书。） （看来，真理确实是越辩越明！）（获得正确的数学思想和方法，离不开积极有序的思考）

四．运用原理，解决问题。

1.基本类型，说说做做。

   （1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

   （2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

2.深化练习，拓展提升。

   （1）有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，如果请五位同学每人任意抽1张，同种花色的至少有几张？为什么？

 （2）六（1）班有学生62人，我们可以肯定，在这62人中，至少有____人的生日在同一个月？想一想，为什么？

五、全课小结，课外延伸。

    1.说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？

    2.同学们，我们学到的知识来源于生活，它是人们在长期的生活中积累的宝贵经验，同时又是很重要的发现，愿我们也积极动脑，留心观察，细心思考，这样你就会有一个个伟大发现。同学们，让我们都朝这个目标努力吧！

板书设计

                            鸽巢问题

              　鸽子数     鸽舍数      至少数 =商＋1

　　　　　　　（铅笔数） （笔筒数）

    　　　　　　 4         3             2

    　　　　　   7    ÷    5 =1……2    2

　　　　　　　   8    ÷    5 =1……3    2　　　　　　　

               　9    ÷    5 =1……4    2 

　　　　　　　　 5    ÷    2 =2……1    3 

                 8    ÷    3 =2……2    3