浙江省强基联盟2022-2023学年高三上学期10月统测试题 数学 Word版含解析

浙江强基联盟2022-2023学年高三上学期10月统测数学试题

选择题部分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（）

A.    B.    C.    D.

2.若，则（）

A.    B.    C.2    D.10

3.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）

A.    B.    C.1    D.2

4.甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（）

    B.    C.    D.

5.对于非零平面向量“”是“”的（）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

6.用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（）

A.大于    B.等于    C.小于    D.无法确定

7.设，则（）

A.    B.    C.    D.

8.过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（）

A.4    B.    C.2    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表，由表中数据，得回归直线l：x，则下列结论正确的是（）

A.>0B.>0C.直线必过点D.直线必过点

10.若函数在区间上单调，则的取值可以是（）

A.1B.C.4D.

11.将两圆方程作差，得到直线的方程，则（）

A.直线一定过点

B.存在实数，使两圆心所在直线的斜率为

C.对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直

D.过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

12.已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（）

A.B.的图象关于点中心对称

C.在上不单调D.当时，

非选择题部分

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中含的项的系数为_____________.（用数字作答）

14.已知奇函数，且成等差数列，则_____________.

15.若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是_____________.（写出符合条件的一个方程即可）

16.如图，在平面四边形中，，，且，将沿所在直线翻折，得到三棱锥，已知该三棱锥的顶点均在同一个球的表面上，则球体积的最小值为_____________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列的首项，且满足.

（1）证明：数列是等比数列.

（2）若，求正整数的最大值.

18.（12分）

在锐角中，内角的对边分别为，且满足.

（1）证明：.

（2）求的取值范围.

19.（12分）

盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.

（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.

20.（12分）

如图，四棱的底面为矩形，侧面与底面垂直，点分别在侧棱上，满足.

（1）证明：.

（2）求二面角的正弦值.

21.（12分）

已知椭圆过点为其左､右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）为第一象限内椭圆上的一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的值.

22.（12分）

已知函数，存在实数，当分别取时，有相同的极值点和极值.

（1）求；

（2）若，设，曲线在点处的切线与曲线交于另一点，求的取值范围.

浙江强基联盟2022年10月高三试题解析

1.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第1题）

解析：或，故选B.

2.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第2题）

解析：由，得，故选C.

3.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第3题）

解析：，则，故选B

4.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第4题）

解析：得本题可以缩小样本空间方法解决条件概率同，在事件已经发生的情况下，有加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品三种选择，而其中事件发生的事件为加多宝､雪碧两种选择，所以，故选D

5.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第5题）

解析：显然能推出成立，成立，取特殊情况，且不为，显然不成立，故选A.

6.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第6题）

解析：设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，则，消掉，可得，故选

7.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第7题）

解析：由可得，

由切线不等式可得，，显然

因

所以，综合可得.

8.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第8题）解析：设，则

或舍

9.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第9题）

解析：由表中数据易知，又，所以直线必过点，通过数据也可观测回归直线与轴截距是大于0的，故，所以答案为.

10.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第10题）

解析1：，因在区间上单调，

所以或

将四个选项代入，时，满足，时，不满足，

时，满足，当时，不满足

综上可知，选

解析2：

或

或，故选A，C

11.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第11题）

解析：直线的方程为：

分参可得，得直线一定过点，所以错误，

，所以B正确，

因，所以正确，

选项，硬算切线长，计算量相当大，这里就不写了，D正确，（高航老师说可以用根轴）以后用专题解决此问题，时间关系，这里忽略了.

所以选

12.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第12题）

解析1：取特殊函数

取函数符合题意，验证A，D正确，B，C错误，故选

解析2：抽象函数运算

令，可得，因，所以，A正确令可得

设，令

所以，即

即在上单调递增，所以错误

令，可得，因

所以，所以的图象关于点没有中心对称，

所以B错误

当时，令，此时，

因，所以，所以D正确

综上所述：选A，D

13.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第13题）

解析：系数为

14.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第14题）

解析：由奇函数可知，则，则，由函数单增，则存在唯一的满足.

15.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第15题）

解析：设直线方程为，因直线与联立判别式

16.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第16题）

解析：如图1，外接圆圆心分别为斜边中点，则分别过圆心作相应平面垂线，交点为球心，如图2，因可看成以为圆心的圆，显然可以与重合，则

17.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第17题）

解析：（1）易知各项均为正，

对两边同时取倒数得，

即，因为，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）知，即，

所以，

显然单调递增，因为，所以的最大值为1010.

18.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第1题）

解析：（1）由得

，由正弦定理得

故，可得

即，

因为，

所以，即；

（2）

，

在锐角中，，

所以.

19.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第19题）

解析：（1）平均数

（2）良种占比为任选一粒种子萌发的概率为这批种子总数远大于2，所以以布列为

期望（即）

（3）以20000粒种子中约有良种（粒）

20.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第20题）

解析：（1）平面平面（交线为），，

平面平面平面平面（交线为），，

平面；

，又

平面平面平面平面（交线为），

同理可得，

又平面.

（2）【方法一】（几何法）作，垂足为，在中，，

边上的高，所以，

所以二面角的正弦值为，二面角的余弦值为.

【方法二】（坐标法）设平面即平面的法向量，，

由得，取，所以，

所以二面角的余弦值为.

21.（2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第21题）

解析：（1）设椭圆焦距为，所以，，

所以椭圆的方程为.

设，则，因为，

所以，因为为定值，所以，解得得；

（2）由得直线，所以，

同理得，所以，

化简得或，

解第一个方程：，得；第二个方程无实根.

【方法一】（距离公式）所以，

【方法二】（相似三角形）因为，

所以.所以，

所以.

22.2022年10月浙江强基联盟高三试题解析第22题）

解析：（1）的定义域为，令，得或，显然，当分别取时，和随的变化如下表：

由题意，

，

解得

（2）若

曲线在处的切线方程为，

因为切线与曲线交于另一点，

所以方程有两个正实根，

整理得，

设，显然，

，显然，

设，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；当时，，

据此作出的大致图象如图；

由图可知：

①当时，在上为正，

在上为负，所以在上单调递增，在

上单调递减，有极大值，有唯一实根，不合题意；

②当时，在上单调递增，有唯一实根，不合题意；

③当时，，使得，即在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，又当

时，，所以在上存在另一个实根，符合题意；

改：又，

所以在区间存在另一个实根，符合题意；

④当时，，使得在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，因为，所以，又当时，，所以在上存在另一个实根，符合题意；

改：又，

所以在区间存在另一个实根，符合题意；

综上，的取值范围为.