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初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理练习
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这是一份初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理练习，共30页。
3.2 勾股定理的逆定理
1．（2022·江苏无锡·八年级期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B．3、4、5 C． D．9、12、15
2．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，4 B． C．5，12，13 D．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2022·江苏南京·八年级期末）A、B、C表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
5．（2022·江苏扬州·八年级期末）以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．、、 C．、、 D．6、8、10
6．（2022·江苏连云港·八年级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ； ④a：b：c=5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·江苏盐城·八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2， B．
C．∠A＋∠B＝∠C D．
8．（2022·江苏无锡·八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝
9．（2022·江苏南通·八年级期末）下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
10．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论：①△BPQ是等边三角形；②△APC是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2022·江苏常州·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
12．（2022·江苏南通·八年级期末）在中，，，边上的中线，则的长为______．
13．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
14．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．
15．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为________．
16．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ．
17．（2022·江苏泰州·八年级期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 __时，此三角形为直角三角形．
18．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
19．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
(1)求AB的长；
(2)求△ACB的面积．
20．（2022·江苏盐城·八年级期末）图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
(1)求证：∠BAC＝90°；
(2)用无刻度的直尺和圆规在AC边上求作点P（保留作图痕迹），使得PD＝PC，求DP的值．
21．（2022·江苏徐州·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个项点都在格点上．判断的形状，并说明理由．
22．（2022·江苏江苏·八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
(1)求证：；
(2)求DF的长．
23．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
24．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．
25．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．
26．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点．）
(1)边的长度为______；
(2)作△ABC的角平分线；
(3)已知点在线段上，点在（2）中作出的线段上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出△PBQ．
28．（2022·江苏盐城·八年级期末）阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米．求这块地草坪绿化的价钱．
29．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
30．（2022·江苏南京·八年级期末）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
参考答案：
1．A
【解析】的三边分别为 如果 那么是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可.
解： 故A符合题意，
故B不符合题意，
故C不符合题意，
故D不符合题意，
故选A
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键.
2．C
【解析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．
A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意，
故选C．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．解题关键是掌握勾股定理的逆定理．
3．B
【解析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．
解：，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形．
4．A
【解析】根据A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，可得点P是 三边垂直平分线的交点，再由勾股定理逆定理，即可求解．
解：A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
所以 ，
所以 是以AB为斜边的直角三角形，
则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A
本题主要考查了线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．D
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、22＋32≠42，故不能组成直角三角形；
B、（）2≠（）2+（）2，故不能组成直角三角形；
C、（32）2＋（42）2≠（52）2，故不能组成直角三角形；
D、62＋82＝102，故能组成直角三角形．故选：D．
此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2＋b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可．
6．C
【解析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
7．D
【解析】根据勾股定理逆定理、有一个角是90°的三角形是直角三角形进行判断即可得解．
解：A．∵a＝1，b＝2，，∴ ，即，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B．∵，∴， 即，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B=∠C，∴，即∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；；
D．∵，∴，，，
∴△ABC不是直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
本题主要考查了直角三角形的判定方法，借助勾股定理逆定理和有一个角是90°的三角形是直角三角形两种判定方法是解决问题的关键．
8．A
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可判断A；先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项B、选项D，设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，AC2+BC2＝AB2，可判断选项C．
A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵AC＝1，BC＝2，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．BC：AC：AB＝3：4：5
设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，
∴
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理．
9．C
解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意；
选项B，32+42=25≠62，不符合题意；
选项C，52+122=169=132，符合题意；
选项D42+62=52≠72，不符合题意．
由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，
故选C．
10．C
【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得∠PQC=90；根据△BPQ是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若为直角三角形，则 再得出与题干矛盾的结论可判断②，若 则 如图，构建的直角三角形，作证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形， 所以①符合题意；
PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以③符合题意；
若为直角三角形，则
与题干信息矛盾，故②不符合题意；
若 则
如图，构建的直角三角形，作
与矛盾，所以④不符合题意．
所以符合题意的有①③，
故选：C．
本题是三角形综合题，全等三角形的性质、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
11．
【解析】先利用勾股定理的逆定理证明 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明是解题的关键.
12．13
【解析】通过勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用勾股定理解直角即可．
解：如图，
是边上的中线，
，
，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：13．
本题考查勾股定理的逆定理和勾股定理解直角三角形，也可以在证明是直角三角形后，通过证明与全等的方式求出AC，方法不唯一．
13．4
【解析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
14．45°##45度
【解析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：
∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，
∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ²=2²+1²=5=QB²，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
15．2.5
【解析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，
∵点O为AB边的中点，
∴CO=AB=2.5，
故答案为：2.5．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．24
【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：．
故答案为：24．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形．
17．或5
【解析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．
解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
18．（1），，；（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】（1）根据勾股定理即可分别求出AB，BC，AC的长；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断.
解：（1）根据勾股定理可知：，，；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，
，
是直角三角形．
此题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握用勾股定理解直角三角形和用勾股定理逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
19．(1)AB=10
(2)24
【解析】（1）根据三角形面积公式结合已知即可求出AB；
（2）推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C=90°，根据三角形面积公式求出即可．
(1)
解：∵△ABE的面积为35，DE=7，DE⊥AB，
∴AB×7=35，
解得：AB=10；
(2)
解：在△ABC中，AB2=102=100，AC2+BC2=62+82=100，
则AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∴S△ABC=AC•BC=×6×8=24，
答：△ACB的面积24．
本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理，即可求解；
（2）作线段CD的垂直平分线，可得到PD＝PC，然后过点P作PF⊥AD于点F，根据，可得PE=2，再由勾股定理，即可求解．
(1)
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∵BC=BD+CD=10，
∴，
∴，
∴；
(2)
：如图，点P即为所求，
如图，过点P作PF⊥AD于点F，
根据作法得：PE垂直平分CD，
∴，
∵，
∴，即，
解得：PE=2，
∴．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．等腰直角三角形，证明见解析
【解析】先根据勾股定理求出AB、AC、BC的长，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．
解：是等腰直角三角形，理由如下：
由题意可得，
，
；
，，
是等腰直角三角形．
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键．
22．(1)见解析
(2)DF的长为5．
【解析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
(1)
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
(2)
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
23．(1)△BDC为直角三角形，理由见解析；
(2)△ABC的周长为=cm．
【解析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；
（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．
（1）
解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
（2）
解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．
24．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
(1)
证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
(2)
解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD＝，
∴AC＝+5＝．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．∠BCD＝135°．
【解析】连接AC，∠ABC＝90°和AB＝BC求出∠ACB=45°，根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD=90°，即可解决．
连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，AC2＝AB 2＋BC2＝8，
在△ABC中，
∵AC2＋CD2＝8＋1=9＝DA2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°．
该题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质.能作辅助线AC并根据勾股定理逆定理证明△ACD为直角三角形是解决此题的关键.
26．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论；
（2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可.
（1）解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD． ∵ BD2－DA2＝AC2 ， ∴ CD2－DA2＝AC2 ． ∴∠A＝90°．
（2）解：∵ AD∶BD＝3∶4， ∴设AD＝3x，BD＝4x． BD2－DA2＝AC2 ， ∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2． ∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56， ∴x＝1． （负根舍去）∴AC＝．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键.
27．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【解析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长；
（2）利用等腰三角形的性质，连接AD即可；
（3）取格点P，连接CP交AD于点Q，△PBQ即为所求．
(1)
解：根据勾股定理，得
AC=，
故答案为：；
(2)
解：如图，AD即为所求；
∵AB== AC，
∴△ABC为等腰三角形，
D为BC中点，
∴AD为△ABC的角平分线；
(3)
解：如图，△PBQ即为所求；
∵AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18，
∴AC2= AP2+CP2，
∴∠APC=90°，即CP⊥AB，
∵AD为等腰△ABC的角平分线，
∴QB=QC，
∴QB+ QP的最小值为CP．
本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
28．3600元
【解析】用勾股定理计算AC的长，再用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再用三角形面积公式计算凹四边形ABCD的面积，最后计算这块地草坪绿化的价钱．
解：连接AC，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
（元）．
答：这块地草坪绿化的价钱为3600元．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练运用三角形面积公式，熟练计算绿地造价．
29．(1)△AOB是直角三角形，证明见解析
(2)P (，0)
(3)
【解析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．
(1)
解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A（5，0），
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
(2)
解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴OE=，
∴PE=5--x=-x，
在Rt△BEP中，
(x+1)2=(-x)2+()2，
解得x=
∴OP=5-=，
∴P(，0)；
(3)
解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
在△HOC和△OBD中
，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴，
∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，
∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，
∴∠OHF=∠BOE，
在△OHF与△BOE中，
，
∴△OHF≌△BOE（AAS），
∴OF=BE=，HF=OE=，
∵H在第二象限，
∴H（-，）；
∴，
即AC+OD有最小值为．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
30．（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②
【解析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；
②过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可．
（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．
3.2 勾股定理的逆定理
1．（2022·江苏无锡·八年级期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B．3、4、5 C． D．9、12、15
2．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，4 B． C．5，12，13 D．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2022·江苏南京·八年级期末）A、B、C表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
5．（2022·江苏扬州·八年级期末）以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．、、 C．、、 D．6、8、10
6．（2022·江苏连云港·八年级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ； ④a：b：c=5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·江苏盐城·八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2， B．
C．∠A＋∠B＝∠C D．
8．（2022·江苏无锡·八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝
9．（2022·江苏南通·八年级期末）下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
10．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论：①△BPQ是等边三角形；②△APC是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2022·江苏常州·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
12．（2022·江苏南通·八年级期末）在中，，，边上的中线，则的长为______．
13．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
14．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．
15．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为________．
16．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ．
17．（2022·江苏泰州·八年级期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 __时，此三角形为直角三角形．
18．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
19．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
(1)求AB的长；
(2)求△ACB的面积．
20．（2022·江苏盐城·八年级期末）图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
(1)求证：∠BAC＝90°；
(2)用无刻度的直尺和圆规在AC边上求作点P（保留作图痕迹），使得PD＝PC，求DP的值．
21．（2022·江苏徐州·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个项点都在格点上．判断的形状，并说明理由．
22．（2022·江苏江苏·八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
(1)求证：；
(2)求DF的长．
23．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
24．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．
25．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．
26．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点．）
(1)边的长度为______；
(2)作△ABC的角平分线；
(3)已知点在线段上，点在（2）中作出的线段上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出△PBQ．
28．（2022·江苏盐城·八年级期末）阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米．求这块地草坪绿化的价钱．
29．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
30．（2022·江苏南京·八年级期末）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
参考答案：
1．A
【解析】的三边分别为 如果 那么是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可.
解： 故A符合题意，
故B不符合题意，
故C不符合题意，
故D不符合题意，
故选A
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键.
2．C
【解析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．
A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意，
故选C．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．解题关键是掌握勾股定理的逆定理．
3．B
【解析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．
解：，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形．
4．A
【解析】根据A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，可得点P是 三边垂直平分线的交点，再由勾股定理逆定理，即可求解．
解：A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
所以 ，
所以 是以AB为斜边的直角三角形，
则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A
本题主要考查了线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．D
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、22＋32≠42，故不能组成直角三角形；
B、（）2≠（）2+（）2，故不能组成直角三角形；
C、（32）2＋（42）2≠（52）2，故不能组成直角三角形；
D、62＋82＝102，故能组成直角三角形．故选：D．
此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2＋b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可．
6．C
【解析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
7．D
【解析】根据勾股定理逆定理、有一个角是90°的三角形是直角三角形进行判断即可得解．
解：A．∵a＝1，b＝2，，∴ ，即，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B．∵，∴， 即，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B=∠C，∴，即∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；；
D．∵，∴，，，
∴△ABC不是直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
本题主要考查了直角三角形的判定方法，借助勾股定理逆定理和有一个角是90°的三角形是直角三角形两种判定方法是解决问题的关键．
8．A
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可判断A；先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项B、选项D，设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，AC2+BC2＝AB2，可判断选项C．
A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵AC＝1，BC＝2，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．BC：AC：AB＝3：4：5
设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，
∴
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理．
9．C
解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意；
选项B，32+42=25≠62，不符合题意；
选项C，52+122=169=132，符合题意；
选项D42+62=52≠72，不符合题意．
由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，
故选C．
10．C
【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得∠PQC=90；根据△BPQ是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若为直角三角形，则 再得出与题干矛盾的结论可判断②，若 则 如图，构建的直角三角形，作证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形， 所以①符合题意；
PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以③符合题意；
若为直角三角形，则
与题干信息矛盾，故②不符合题意；
若 则
如图，构建的直角三角形，作
与矛盾，所以④不符合题意．
所以符合题意的有①③，
故选：C．
本题是三角形综合题，全等三角形的性质、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
11．
【解析】先利用勾股定理的逆定理证明 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明是解题的关键.
12．13
【解析】通过勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用勾股定理解直角即可．
解：如图，
是边上的中线，
，
，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：13．
本题考查勾股定理的逆定理和勾股定理解直角三角形，也可以在证明是直角三角形后，通过证明与全等的方式求出AC，方法不唯一．
13．4
【解析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
14．45°##45度
【解析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：
∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，
∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ²=2²+1²=5=QB²，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
15．2.5
【解析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，
∵点O为AB边的中点，
∴CO=AB=2.5，
故答案为：2.5．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．24
【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：．
故答案为：24．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形．
17．或5
【解析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．
解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
18．（1），，；（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】（1）根据勾股定理即可分别求出AB，BC，AC的长；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断.
解：（1）根据勾股定理可知：，，；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，
，
是直角三角形．
此题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握用勾股定理解直角三角形和用勾股定理逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
19．(1)AB=10
(2)24
【解析】（1）根据三角形面积公式结合已知即可求出AB；
（2）推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C=90°，根据三角形面积公式求出即可．
(1)
解：∵△ABE的面积为35，DE=7，DE⊥AB，
∴AB×7=35，
解得：AB=10；
(2)
解：在△ABC中，AB2=102=100，AC2+BC2=62+82=100，
则AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∴S△ABC=AC•BC=×6×8=24，
答：△ACB的面积24．
本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理，即可求解；
（2）作线段CD的垂直平分线，可得到PD＝PC，然后过点P作PF⊥AD于点F，根据，可得PE=2，再由勾股定理，即可求解．
(1)
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∵BC=BD+CD=10，
∴，
∴，
∴；
(2)
：如图，点P即为所求，
如图，过点P作PF⊥AD于点F，
根据作法得：PE垂直平分CD，
∴，
∵，
∴，即，
解得：PE=2，
∴．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．等腰直角三角形，证明见解析
【解析】先根据勾股定理求出AB、AC、BC的长，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．
解：是等腰直角三角形，理由如下：
由题意可得，
，
；
，，
是等腰直角三角形．
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键．
22．(1)见解析
(2)DF的长为5．
【解析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
(1)
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
(2)
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
23．(1)△BDC为直角三角形，理由见解析；
(2)△ABC的周长为=cm．
【解析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；
（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．
（1）
解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
（2）
解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．
24．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
(1)
证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
(2)
解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD＝，
∴AC＝+5＝．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．∠BCD＝135°．
【解析】连接AC，∠ABC＝90°和AB＝BC求出∠ACB=45°，根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD=90°，即可解决．
连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，AC2＝AB 2＋BC2＝8，
在△ABC中，
∵AC2＋CD2＝8＋1=9＝DA2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°．
该题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质.能作辅助线AC并根据勾股定理逆定理证明△ACD为直角三角形是解决此题的关键.
26．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论；
（2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可.
（1）解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD． ∵ BD2－DA2＝AC2 ， ∴ CD2－DA2＝AC2 ． ∴∠A＝90°．
（2）解：∵ AD∶BD＝3∶4， ∴设AD＝3x，BD＝4x． BD2－DA2＝AC2 ， ∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2． ∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56， ∴x＝1． （负根舍去）∴AC＝．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键.
27．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【解析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长；
（2）利用等腰三角形的性质，连接AD即可；
（3）取格点P，连接CP交AD于点Q，△PBQ即为所求．
(1)
解：根据勾股定理，得
AC=，
故答案为：；
(2)
解：如图，AD即为所求；
∵AB== AC，
∴△ABC为等腰三角形，
D为BC中点，
∴AD为△ABC的角平分线；
(3)
解：如图，△PBQ即为所求；
∵AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18，
∴AC2= AP2+CP2，
∴∠APC=90°，即CP⊥AB，
∵AD为等腰△ABC的角平分线，
∴QB=QC，
∴QB+ QP的最小值为CP．
本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
28．3600元
【解析】用勾股定理计算AC的长，再用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再用三角形面积公式计算凹四边形ABCD的面积，最后计算这块地草坪绿化的价钱．
解：连接AC，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
（元）．
答：这块地草坪绿化的价钱为3600元．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练运用三角形面积公式，熟练计算绿地造价．
29．(1)△AOB是直角三角形，证明见解析
(2)P (，0)
(3)
【解析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．
(1)
解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A（5，0），
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
(2)
解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴OE=，
∴PE=5--x=-x，
在Rt△BEP中，
(x+1)2=(-x)2+()2，
解得x=
∴OP=5-=，
∴P(，0)；
(3)
解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
在△HOC和△OBD中
，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴，
∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，
∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，
∴∠OHF=∠BOE，
在△OHF与△BOE中，
，
∴△OHF≌△BOE（AAS），
∴OF=BE=，HF=OE=，
∵H在第二象限，
∴H（-，）；
∴，
即AC+OD有最小值为．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
30．（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②
【解析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；
②过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可．
（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．
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