深圳外国语学校（集团）2023届高三上学期第一次月考数学试题

深圳外国语学校（集团）高2023届高三第一次月考

数学测试试题卷

本卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1. 全集，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数的虚部为 （ ）

A. 1 B.  C.  D.

3. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，己知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（    ）

A. 12贝克 B. 12e贝克 C. 24贝克 D. 24e贝克

4. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为4，其母线与底面所成的角为45°，则这个圆台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数为实数集上的奇函效，当时，（a为常数），则

B. 已知幂函数在单调递减，则实数

C. 命题“，”的否定是“，”

D. 中.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件

6. （    ）

A. 4 B.  C.  D.

7. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知平面向量，，则下列命题中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加2个单位

B. 若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256

C. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为

D. 已知一组数据方差为4，则数据的标准差为8

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 周期函数 B. 满足

C.  D. 在上有解，则k的最大值是

12. 如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（    ）

A. MN和BC不可能平行

B. AB和CD有可能垂直

C. 若AB和CD所成角是，则

D. 若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.

13. 设等差数列{an}前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

14. 若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.

15. 安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有______.

16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知中，内角所对边分别，若.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的最大值.

18. 已知等比数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若______，求数列的前n项和.

①，②，③

这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.

（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；

（2）若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.

20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.

（1）已知平面平面，求证：.

（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.

21. 椭圆（）的离心率为，过的左焦点的直线被圆（）截得的张长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设的右焦点为，在上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标），若不存在，说明理由.

22. 已知函数（其中e为自然对数的底）

（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若，是的极值点且.若，且. 证明：.