山西省吕梁市重点中学2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．8.1×106 B．8.1×105 C．81×105 D．81×104

2．下列运算正确的是（　　）

A．a6÷a2=a3    B．（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2    C．（﹣a）2•a3=a6    D．5a+2b=7ab

3．-2的倒数是（ ）

A．-2 B． C． D．2

4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得

A． B．

C． D．

5．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　　)

A．60° B．75° C．87° D．120°

6．实数的相反数是（   ）

A． B． C． D．

7．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )

A． B． C． D．

8．一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（　　）

A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2

9．下列图形中，可以看作中心对称图形的是(        )

A． B． C． D．

10．下列命题中假命题是（ ）

A．正六边形的外角和等于 B．位似图形必定相似

C．样本方差越大，数据波动越小 D．方程无实数根

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．

12．计算：2cos60°－+(5－π)°=____________.

13．计算：=_______．

14．PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠PAB=60°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为_____．

15．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为           ．

16．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，则△ABC的面积等于_____．

17．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：

①公交车的速度为400米/分钟；

②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；

③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；

④小刚上课迟到了1分钟．

其中正确的序号是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)

19．（5分）我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：

工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x天生产的产品成本为P元/件，P与的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？

20．（8分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．

（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；

（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？

21．（10分）如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝1．求⊙O的面积；若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．

22．（10分）先化简，再求值，，其中x=1．

23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB求证：DC是⊙O的切线；若AB=9，AD=6，求DC的长．

24．（14分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

810 000=8.1×1．
故选B．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2、B

【解析】
A选项:利用同底数幂的除法法则，底数不变，只把指数相减即可；
B选项:利用平方差公式，应先把2a看成一个整体，应等于（2a）2-b2而不是2a2-b2，故本选项错误；
C选项:先把（-a）2化为a2，然后利用同底数幂的乘法法则，底数不变，只把指数相加，即可得到；
D选项:两项不是同类项，故不能进行合并．

【详解】

A选项:a6÷a2=a4，故本选项错误；
B选项:（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故本选项正确；
C选项:（-a）2•a3=a5，故本选项错误；
D选项:5a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
故选：B．

【点睛】

考查学生同底数幂的乘除法法则的运用以及对平方差公式的掌握，同时要求学生对同类项进行正确的判断．

3、B

【解析】
根据倒数的定义求解.

【详解】

-2的倒数是-

故选B

【点睛】

本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

4、A

【解析】

若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．

解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，

故选A．

5、C

【解析】

【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.

【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫

故选C

【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.

6、D

【解析】
根据相反数的定义求解即可．

【详解】

的相反数是-，

故选D．

【点睛】

本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

7、D

【解析】
根据抛物线和直线的关系分析.

【详解】

由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.

故选D

【点睛】

考核知识点：反比例函数图象.

8、C

【解析】
由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．

【详解】

∵一元二次方程mx1+mx﹣＝0有两个相等实数根，

∴△＝m1﹣4m×（﹣）＝m1+1m＝0，

解得：m＝0或m＝﹣1，

经检验m＝0不合题意，

则m＝﹣1．

故选C．

【点睛】

此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

9、B

【解析】
根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

10、C

【解析】

试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；

B、位似图形必定相似，是真命题；

C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；

D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；

故选：C．

考点：命题与定理．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、4或

【解析】

试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：

①长为3的边是直角边，长为3的边是斜边时：第三边的长为：；

②长为3、3的边都是直角边时：第三边的长为：；

∴第三边的长为：或4．

考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．

12、1

【解析】

解：原式==1－2+1=1．故答案为1．

13、3

【解析】
先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解.

【详解】

原式=2.

故答案为

【点睛】

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．

14、60°或120°．

【解析】
连接OA、OB，根据切线的性质得出∠OAP的度数，∠OBP的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出∠AOB的度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出∠ACB的度数即可．

【详解】

解：连接OA、OB．

∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB；

∴∠PAO=∠PBO=90°；

又∵∠APB=60°，

∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，

∴

即当C在D处时，∠ACB=60°．

在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣60°=120°．

于是∠ACB的度数为60°或120°，

故答案为60°或120°．

【点睛】

本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题．

15、

【解析】

试题分析：用周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．

试题解析：∵圆锥的底面周长为6π，

∴圆锥的底面半径为  6π÷2π="3，"

∵圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长，

∴母线长=2×12π÷6π="4，"

∴这个圆锥的高是

考点：圆锥的计算．

16、1．

【解析】
根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC=3，则易得S△ABC=1．

【详解】

∵双曲线y=与正比例函数y=kx的图象交于A，B两点，

∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC，

∵S△AOC=×1=3，∴S△ABC=2S△AOC=1．

故答案为1．

17、①②③

【解析】
由公交车在7至12分钟时间内行驶的路程可求解其行驶速度，再由求解的速度可知公交车行驶的时间，进而可知小刚上公交车的时间；由上公交车到他到达学校共用10分钟以及公交车行驶时间可知小刚跑步时间，进而判断其是否迟到，再由图可知其跑步距离，可求解小刚下公交车后跑向学校的速度.

【详解】

解：公交车7至12分钟时间内行驶的路程为3500-1200-300=2000m，则其速度为2000÷5=400米/分钟，故①正确；由图可知，7分钟时，公交车行驶的距离为1200-400=800m，则公交车行驶的时间为800÷400=2min，则小刚从家出发7-2=5分钟时乘上公交车，故②正确；公交车一共行驶了2800÷400=7分钟，则小刚从下公交车到学校一共花了10-7=3分钟＜4分钟，故④错误，再由图可知小明跑步时间为300÷3=100米/分钟，故③正确.

故正确的序号是：①②③.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）5.6

（2）货物MNQP应挪走，理由见解析．

【解析】
（1）如图，作AD⊥BC于点D

Rt△ABD中，     

AD=ABsin45°=4

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°

∴AC=2AD=4 

即新传送带AC的长度约为5.6米．

（2）结论：货物MNQP应挪走．

在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4

在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=

∴CB=CD—BD=

∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2

∴货物MNQP应挪走．

19、 (1)工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)第11天时，利润最大，最大利润是845元．

【解析】

分析：（1）根据y=70求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．

本题解析：

解：(1)若7.5x＝70，得x＝>4，不符合题意；

则5x＋10＝70，

解得x＝12.

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件．

(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40，

当4<x≤14时，设P＝kx＋b，

将(4，40)、(14，50)代入，得解得

∴P＝x＋36.

①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，

∵W随x的增大而增大，

∴当x＝4时，W最大＝600；

②当4<x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，

∴当x＝11时，W最大＝845.

∵845>600，

∴当x＝11时，W取得最大值845元．

答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

点睛：本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价-成本，学会利用函数的性质解决最值问题．

20、（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元.

【解析】
（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；

（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可.

【详解】

解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

∴ 40x +60（100-x）=5200  ,

解得：x=40 ,

∴100-x=100-40=60个,

答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．

（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

100-x≥ ,

解得：x≤60 ,

设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,

∵k=-20，∴y随x的增大而减小,

∴当x=60时，y最小=4800元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.

21、（1）25π；（2）CD1＝，CD2＝7

【解析】

分析：（1）利用圆周角定理的推论得到∠C是直角，利用勾股定理求出直径AB，再利用圆的面积公式即可得到答案；

（2）分点D在上半圆中点与点D在下半圆中点这两种情况进行计算即可.

详解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC＝8，BC＝1，

∴AB＝10，

∴⊙O的面积＝π×52＝25π．

（2）有两种情况：

①如图所示，当点D位于上半圆中点D1时，可知△ABD1是等腰直角三角形，且OD1⊥AB,

作CE⊥AB垂足为E，CF⊥OD1垂足为F，可得矩形CEOF，

∵CE＝，

∴OF= CE=，

∴，

∵=,

∴，

∴，

∴；

②如图所示，当点D位于下半圆中点D2时，

同理可求.

∴CD1＝，CD2＝7

点睛：本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、矩形的性质等知识.利用分类讨论思想并合理构造辅助线是解题的关键.

22、1．

【解析】
先根据分式的运算法则进行化简,再代入求值.

【详解】

解：原式=（）×=×

=；

将x=1代入原式==1．

【点睛】

分式的化简求值

23、（1）见解析；（2）

【解析】

分析：

（1）如下图，连接OD，由OA=OD可得∠DAO=∠ADO，结合∠CAD=∠DAB，可得∠CAD=∠ADO，从而可得OD∥AC，由此可得∠C+∠CDO=180°，结合∠C=90°可得∠CDO=90°即可证得CD是⊙O的切线；

（2）如下图，连接BD，由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°=∠C，结合∠CAD=∠DAB可得△ACD∽△ADB，由此可得，在Rt△ABD中由AD=6，AB=9易得BD=，由此即可解得CD的长了.

详解：

（1）如下图，连接OD．

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ODA，

∵∠CAD=∠DAB，

∴∠ODA=∠CAD

∴AC∥OD

∴∠C+∠ODC=180°

∵∠C=90°

∴∠ODC=90°

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）如下图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=9，AD=6，

∴BD===3，

∵∠CAD=∠BAD，∠C=∠ADB=90°，

∴△ACD∽△ADB，

∴，

∴，

∴CD=．

点睛：这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.

24、（1）4；（2）详见解析.

【解析】
（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果

（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.

【详解】

解：（1）∵a＝2，b＝﹣1

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝1+（﹣2）﹣2+7

＝4

（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7

＝2m2﹣4m+2

＝2（m﹣1）2

∵（m﹣1）2≥0

∴“如意数”c为非负数

【点睛】

本题考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2的非负性，难度不大．